On an extension of Hamilton's variational principle to nonconservative systems which are conservative in a higher sense

Summary

Introducing the concept of a generalized selfadjointness, it is possible to extend the notion of a conservative system to classically nonconservative systems. Depending on the nature of a certain functional that replaces the classical energy functional, the truly nonconservative systems become conservative systems of the second kind (if the functional is quadratic) and conservative systems of the third kind (if the functional is bilinear). The generalized selfadjointness can be viewed as an operation making the system concerned symmetrical in a general sense. The generalized selfadjointness also makes it possible to extend Hamilton's variational principle to nonconservative systems. Thus, one is able to use a Rayleigh-Ritz approximation to determine the eigenvalues of these nonconservative systems. Examples of conservative systems of the second kind have been given by the author in an earlier paper. In this paper, Beck's rod is introduced as an example for conservative systems of the third kind.

Übersicht

Durch Einführung des Begriffs einer verallgemeinerten Selbstadjungiertheit ist es möglich, den Begriff eines konservativen Systems auf Systeme zu übertragen, die im klassischen Sinn nichtkonservativ sind. In Abhängigkeit von der Beschaffenheit eines gewissen Funktionals, das das klassische Energiefunktional ersetzt, wird das eigentlich nichtkonservative System ein konservatives von der zweiten Art sein, wenn das Funktional quadratisch ist, oder es wird ein solches von der dritten Art sein, wenn das Funktional bilinear ist. Die verallgemeinerte Selbstadjungiertheit kana als eine Eigenschaft angesehen werden, die das betreffende System in einem allgemeinen Sinn symmetrisch macht. Die verallgemeinerte Selbstadjungiertheit erlaubt es daher, das Hamiltonsche Variationsprinzip auf nichtkonservative Systeme auszudehnen. Damit ist man in der Lage, einen Rayleigh-Ritz-Ansatz für die Bestimmung der Eigenwerte dieser nichtkonservativen Systeme zu benutzen. Beispiele für konservative Systeme der zweiten Art sind vom Autor bereits in einer früheren Arbeit gegeben worden. In dieser Arbeit wird das Becksche Stabproblem als Beispiel für ein konservatives System der dritten Art vorgeführt.