A method of solution of the two-state Schrödinger equation

Summary

An iterative analytic method for finding an exact solution of the differential equation$i\dot a = \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{M} (t)a$, where$\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{M} (t)$ is a 2×2 hermitian matrix, is proposed. This method is used to solve the model problem of a two-state atom interacting with an oscillating field. The obtained results are compared with those obtained in the so-called rotating-wave approximation showing the limits of this approximate theory.

Riassunto

Si presenta un metodo analitico iterativo per trovare una soluzione esatta dell'equazione differenziale$i\dot a = \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{M} (t)a$, dove$\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{M} (t)$ è una matrice hermitiana 2×2. Il metodo si usa per risolvere il problema d'un atomo a due stati che interagisce con un campo oscillante. I risultati trovati sono confrontati con quelli ottenuti nella cosiddetta approssimazione d'onda rotante e mostrano i limiti di quest'ultima.

Резюме

Предлагается итерационный аналитический метод для нахождения точного решения дифференциального уравнения$i\dot a = \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{M} (t)a$ где$\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{M} (t)$ 2×2-эрмитова матрица. Этот метод используется для решения проблемы атома с двумя состояниями, взаимодействующего с осциллирующим полем. Полученные результаты сравниваются с результатами вычислений в так называемом приблжении «вращающейся волны». Сравнение указывает пределы этой приближенной теории.