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Acta Mathematica

, Volume 41, Issue 1, pp 219–251 | Cite as

Untersuchungen zur Theorie der Folgen analytischer Funktionen

  • Robert Jentzsch
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Literatur

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    Vgl. auch unten Kap. II § 3 Ende.Google Scholar
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    Oder eines derselben.Google Scholar
  10. 1.
    Sopra le serie di funzione analitiche; Annali di Matematica (3), T. to.—HerrE. Landau hat in seine vor Kurzem erschienene Schrift: Darstellung und Begründung einiger neuerer Ergebnisse der Funktionentheorie, Berlin 1916, den Beweis des Hauptsatzes über Potenzreihen aufgenommen, wobei er jedoch statt desVitali'schen Satzes denHadamard'schen Dreikreisesatz heranzieht (vgl. l. c. S. 14 und S. 80–83).Google Scholar
  11. 2.
    Siehe oben.Google Scholar
  12. 1.
    Sur la théorie des fractions continues. Annales de Toulouse 1894.Google Scholar
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    l.c. Sur la théorie des fractions continues. Annales de Toulouse 1894, § 2.Google Scholar
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  15. 1.
    Gesammelte Abhandlungen. Bd. II, S. 109.Google Scholar
  16. 2.
    Dieser zweite Schritt ist hier einem Punkte im Beweise des HerrnLindelöf ähnlich.Google Scholar
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    Laguerre, Sur les fonctions du genre zéro et du genre un. Oeuvres I. p. 174–177.Google Scholar
  18. 2.
    Vgl. zu diesen ganzen Anwendungen folgende Arbeiten, die sich allerdings zumeist nur, bzw. auch, auf Polynomreihen beziehen:Pólya, Über Annäherung durch Polynome, deren sämtliche Wurzeln in einen Winkelraum fallen. Gött. Nachr. 1913; derselbe, Über Annäherung durch Polynome mit lauter reellen Wurzeln. Rend. Palermo T. 36. 1913;Pólya undLindwart, Über einen Zusammenhang zwischen der Konvergenz von Polynomfolgen und der Verteilung ihrer Wurzeln, Rend. Pal. T. 37, 1914;Jentzsch, Sur l'extension d'un théorème deLaguerre, Comptes Rendus 1914, t. 158;E. Lindwart, Über eine Methode vonLaguerre zur Bestimmung des Geschlechts einer ganzen Funktion. Göttingen 1914.Google Scholar
  19. 1.
    Vgl.Montel, Leçons sur les séries de polynômes. Paris 1910.Google Scholar
  20. 1.
    Vgl. S. 240 unten.Google Scholar
  21. 1.
    In der vorstehenden Überlegung ist folgender Satz enthalten: Bestimmt man für jede ν, κ). Folge den\(\overline {\mathop {\lim }\limits_{a = \infty } } \sqrt[{x_a }]{{\left| {a_{x_a ,v_a } } \right|}} = \frac{I}{{\rho x, v}}\) und ist ρ″ die untere Grenze allerρ x,v, so istR gleich der kleinsten unter den drei Zahlen ρ, ρ′, ρ″. Man kann diesem Satz eine allgemeinere Form geben, wenn man beachtet, dass\(a_{x_a ,v_a } \cdot v_a !\) der Wert derx a-ten Ableitung von\(f_{v_a } \) im Punkte o ist, und statt des Kreises |x|=R um den Nullpunkt den entsprechenden um einen beliebigen Punkt ξ der Ebene aus\(v_a !\left( {\frac{{\partial ^{x_a } f_{v_a } }}{{\partial x^{x_a } }}} \right)_{x = \xi } \) bestimmt; es ist damit die Verallgemeinerung derCauchy'schen Formel für den Konvergenzradius einer Potenzreihe für allgemeine Funktionenfolgen geleistet.Google Scholar
  22. 1.
    Vgl. die S. 233 angegebenen Arbeiten.Google Scholar
  23. 1.
    Vgl. namentlich Kapitel III der Dissertation vonLindwart in § 2 wird daselbst auch ein algebraischer Beweis des wichtigsten hier in Betracht kommenden Hilfssatzes gegeben.Google Scholar

Copyright information

© Almqvist & Wiksells Boktryckeri-A.-B. 1916

Authors and Affiliations

  • Robert Jentzsch
    • 1
  1. 1.Berlin

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