Physik der kondensierten Materie

, Volume 8, Issue 2, pp 141–166 | Cite as

Linear response and transport equations in interacting phonon systems

  • Rudolf Klein
  • Roland K. Wehner
Article

Abstract

A derivation of a transport equation for phonons, in terms of the microscopic description of an anharmonic crystal, is given. The starting point is a complete set of equations for the phonon Green function, the self-energy, and the vertex part, as given by a functional method using real times. The role of the external source field for introducing nonequilibrium into the system is discussed in detail. The essential equivalence of some recent theories is shown, which have been proposed in connection with phonon transport and second sound. The integral equation for the vertex part is related to a Boltzmann equation for a position and time dependent phonon density. For this quantity an operator, namely the Wigner operator, can be extracted from the energy density. It is shown, however, that the energy density can only approximately be expressed in terms of this phonon density. With the aid of the Wigner operator the variable phonon density is represented by a Kubo formula as the linear response of the phonon quasiparticle gas to the external source field. Cubic and quartic anharmonicities are taken into account and their influence on the collision operator and on the drift term of the transport equation is discussed.

Keywords

Transport Equation Collision Operator Phonon Density Kubo Formula Phonon Transport 

Résumé

Une équation de transport pour phonons a été établie dans le cadre d’une théorie microscopique du crystal anharmonique. On part d’une série complête d’équations pour la fonction de Green des phonons, pour l’énergie propre et la part de vertex, tels qu’on les obtient dans une méthode fonctionelle à temps réels. On discute en détail le rôle d’un champs externe, qui deséquilibre le système et l’on démontre la quasi-équivalence de quelques théories récentes établies pour décrire le transport des phonons et le deuxième son. De l’équation intégrale pour la part de vertex on dérive une équation de Boltzmann pour une densité de phonons qui est fonction de la position et du temps. Pour représenter cette densité de phonons on fait usage de l’opérateur de Wigner qui se déduit de l’opérateur de densité d’énergie. Par contre on ne peut exprimer qu’approximativement la densité d’énergie au moyen de la densité de phonons. A l’aide de l’opérateur de Wigner la fonction densité de phonons est représentée par une formule de Kubo qui décrit les réactions linéaires du gaz des quasi-particules phonons au champs externe. On tient compte des anharmonicités cubiques et quartiques et l’on discute de leur influence sur l’opérateur de collision et sur le terme de dérive dans l’équation de transport.

Zusammenfassung

Im Rahmen einer mikroskopischen Beschreibung des anharmonischen Kristalls wird eine Transportgleichung für Phononen abgeleitet. Ausgegangen wird dazu von vollständigen Gleichungen für die Green-Funktion der Phononen, für die Selbstenergie und den Vertexanteil, wie sie eine Funktionalmethode für reelle Zeiten ergibt. Die Bedeutung des äußeren Quellfeldes zur Erzeugung von Nichtgleichgewicht im System wird eingehend diskutiert. Es wird gezeigt, daß einige neuere Theorien, die über Transport von Phononen und zweiten Schall aufgestellt wurden, im wesentlichen äquivalent sind. Aus der Integralgleichung für den Vertexanteil folgt eine Boltzmanngleichung für die orts- und zeitabhängige Phononendichte. Für diese Größe wird der Wigner-Operator vom Operator der Energiedichte abgeleitet. Es wird jedoch gezeigt, daß durch diese Teilchendichte die Energiedichte nur näherungsweise wiedergegeben wird. Mit Hilfe des Wigner-Operators wird die variable Phononendichte durch eine Kubo-Formel als eine lineare Nachwirkung des Phononengases auf das äußere Feld dargestellt. Kubische und biquadratische Anharmonizität wird berücksichtigt und ihr Einfluß auf den Stoßoperator und den Driftterm der Transportgleichung diskutiert.

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Copyright information

© Springer-Verlag 1968

Authors and Affiliations

  • Rudolf Klein
    • 1
  • Roland K. Wehner
    • 1
  1. 1.Laboratories RCA Ltd.ZürichSwitzerland

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