Exact solution of the Boltzmann equation in the relaxation approximation, existence of negative differential conductivity for certain types of energy bands and its implication for the fluctuation spectrum and the noise temperature

Abstract

The Boltzmann equation for the distributionf _k of a system of charged particles obeying classical statistics in a uniform fieldF,

$$\frac{{\partial f_k }}{{\partial t}} + F\frac{{\partial f_k }}{{\partial k}} = \smallint d^3 k'(W_{kk'} f_{k'} - W_{k'k} f_k ),$$

will be solved analytically for a special class of transition ratesW _kk′=const·h _k ·ν _k ·ν _k′ for any initial distribution.h _k is the Maxwell distribution andν _k >0 can be interpreted as ak-dependent relaxation frequency. The constant relaxation approximation (ν _k =ν) will be used to discuss the drift velocitiesu for all the fields and temperaturesT for certain types of band structuresE(k). Bands with lineark-dependence for largek give rise to drift velocities saturating for large fields. For bands with the periodicity of the reciprocal lattice, the zero drift-theorem has been proved. It states that

$$\mathop {\lim }\limits_{F \to \infty } u (F,T) = \mathop {\lim }\limits_{T \to \infty } u (F,T) = 0$$

for all the periodic band structures.

This theorem is even correct for a generalW _kk′ if certain restrictions are made. Finally, making use of the Markov character of the conditional probability (Green's function) solution of the Boltzmann equation, the velocity fluctuation spectrumS is calculated forE(k)=A(1−cosa k). It will be shown thatS(F, T, 0) remains positive for the critical field and all temperatures, and therefore the noise temperature diverges on approaching the critical field.

Zusammenfassung

Die Boltzmanngleichung für eine Verteilungf _k geladener Teilchen mit klassischer Statistik in einem homogenen FeldF

$$\frac{{\partial f_k }}{{\partial t}} + F\frac{{\partial f_k }}{{\partial k}} = \smallint d^3 k'(W_{kk'} f_{k'} - W_{k'k} f_k )$$

, wird für eine spezielle Klasse von ÜbergangsratenW _kk =const·h _k ·ν _k ·ν _k′ und beliebige Anfangsverteilungen analytisch gelöst.h _k ist die Maxwellverteilung undν _k >0 kann alsk-abhängige Relaxationsfrequenz interpretiert werden. In der konstanten Relaxationsapproximation (ν _k =ν) wird die Driftgeschwindigkeitu für alle Felder und TemperaturenT für gewisse BandstrukturtypenE(k) diskutiert. Bänder mit linearerk-Abhängigkeit für großek geben Anlaß zu Driftgeschwindigkeiten, die für hohe Felder einem Sättigungswert zustreben. Für Bänder mit der Periodizität des reziproken Gitters gilt das Nulldrifttheorem. Es besagt

$$\mathop {\lim }\limits_{F \to \infty } u (F,T) = \mathop {\lim }\limits_{T \to \infty } u (F,T) = 0$$

für alle periodischen Bandstrukturen.

Dieses Theorem gilt unter gewissen Einschränkungen sogar für allgemeineW _kk′. Schließlich wird das GeschwindigkeitsfluktuationsspektrumS fürE=A(1−cosa k) berechnet, wobei der Markov-Charakter der bedingten Wahrscheinlichkeitslösung (Greensche Funktion) der Boltzmanngleichung benützt wurde. Es wird gezeigt, daßS(F, T, 0) im kritischen Feld positiv bleibt. Daher strebt die Rauschtemperatur nach unendlich, wenn man sich dem kritischen Feld nähert.

Résumé

La fonction de distributionf _k d'un système de particules chargées obéissant à la statistique classique dans un champ homogèneF se calcule à partir de l'équation de Boltzmann

$$\frac{{\partial f_k }}{{\partial t}} + F\frac{{\partial f_k }}{{\partial k}} = \smallint d^3 k(W_{kk'} f_{k'} - W_{k'k} f_k )$$

. Ses solutions sont trouvées analytiquement pour une classe spéciale des fréquences de transitionsW _kk′=const·h _k ·ν _k ·ν _k′ et pour toutes distribution initiales.h _k est la distribution de Maxwell etν _k >0 peut être interpreté comme une fréquence de relaxation dépendant dek. L'approximation de relaxation constante (ν _k =ν) est appliquée pour la discussion des vitesses moyennesu, et cela pour tous champs et temperaturesT et pour certains types de structures de bandesE(k). Des bandes qui dépendent linéairement dek pourk grand produisent des vitesses moyennes qui saturent à champ élevé. Pour des bandes ayant la periodicité du réseau réciproque la théorème du „drift” zéro est prouvé. Il dit que

$$\mathop {\lim }\limits_{F \to \infty } u (F,T) = \mathop {\lim }\limits_{T \to \infty } u (F,T) = 0$$

pour toutes les structures de bandes périodiques.

Ce théorème est également valable pour des fonctionsW _kk′ plus générales si l'on fait quelques restrictions. Finalement le spectre de fluctuations des vitessesS est calculé pourE(k)=A(1−cosa k) utilisant le charactère Markoffien de la solution de probabilité conditionelle (fonction de Green) de l'équation de Boltzmann.

Il est prouvé queS(F, T, 0) reste positif au champ critique et pour toutes températures. Par conséquent la température de bruit diverge à l'approche du champ critique.