Wave packet approach to lattice electrons in external galvanomagnetic fields

Abstract

The probability for Bragg reflections of wave packets in a lattice and an external electric fieldF is no longer invariant against inversion: (a) Reflections anti-parallel toF are favored compared to reflections parallel toF owing to the energy gain involved. (b) Reflection amplitudes caused in successive cyclotron periods cancel by interference, except when the respective energy gain equals an integer number of magnetic quanta. The effective current parallel toF is calculated up to terms of second order in the lattice potential. It is found proportional to 1/B ² for scattering times shorter (low field limit) and proportional to 1/B for scattering times longer (high field limit) than one cyclotron period. The effect of magnetic breakdown interpolates between the results of a band model for closed and open electron orbits. From the reflection condition (b) one can deduct oscillations of the effective current inF/B ² in the 1/B-region.

Zusammenfassung

Die Bragg-Reflektionen eines Wellenpakets an einem Kristallgitter sind in einem äußeren elektrischen FeldF nicht mehr invariant gegen Inversion: (a) Reflektionen antiparallel zuF sind wegen des damit verbundenen Energiegewinns wahrscheinlicher als Reflektionen parallel zuF. (b) Während aufeinanderfolgender Umläufe erzeugte Reflektionsamplituden fallen durch Interferenz heraus, falls nicht der zugehörige Energiegewinn einer ganzen Zahl magnetischer Quanten entspricht. Der effektive Strom in Feldrichtung wird unter Mitnahme von Gliedern zweiter Ordnung im Gitterpotential ermittelt. Er ist proportional zu 1/B ², solange die Stoßzeit kürzer als eine Zyklotronperiode ist (in schwachen Feldern), und proportional zu 1/B, sobald die Stoßzeit länger als eine Zyklotronperiode wird (in starken Feldern). Der Effekt des Magnetic Breakdown interpoliert zwischen den Ergebnissen des Band-Modells im Fall geschlossener und offener Elektronenbahnen. Aus der Reflektionsbedingung (b) lassen sich Oszillationen des effektiven Stroms inF/B ² im 1/B-Bereich ableiten.

Résumé

Les réflexions de Bragg d'un paquet d'ondes à l'intérieur d'un réseau cristallin dans un champ électrique extérieurF ne sont plus invariables vis-à-vis de l'inversion: (a) les réflexions anti-parallèles àF sont, à cause de l'augmentation de l'énergie mise en jeu, favorisées par rapport aux réflexions parallèles àF; (b) les amplitudes de la réflexion qui sont engendrées pendant les révolutions successives sont annulées par interférence, sauf quand le gain d'énergie correspond à un nombre entier de quanta magnétiques. Le courant effectif parallèle àF est calculé en tenant compte des termes des deux premiers ordres dans le potentiel réticulaire. Ce courant est proportionnel à 1/B ² lorsque les paquets d'ondes ne peuvent pas effectuer une révolution sans perturbation (dans les champs faibles) et proportionnel à 1/B lorsque l'on peut obtenir des révolutions non-perturbées (dans les champs élevés). L'effet du breakdown magnétique donne une interpolation entre les résultats d'un modèle de bande pour des couches électroniques fermées et pour des couches ouvertes. A partir de la condition de réflexion (b), on peut déduire des oscillations enF/B ² du courant effectif dans le domaine dépendant de 1/B.