Acta Mathematica

, Volume 36, Issue 1, pp 197–240 | Cite as

Lösung des absoluten Konvergenzproblems einer allgemeinen Klasse Dirichletscher Reihen

  • Harald Bohr
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References

  1. 1.
    Betreffs der Literatur werde ich auf das fundamentale Werk des HerrLandau: „Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen” (Leipzig 1909) verweisen.Google Scholar
  2. 1.
    Es sei die Funktionf(s) in einer gewissen Halbebene durch eine dort konvergente Dirichletsche Reihe darstellbar; dann lassen sich bekanntlich die Koeffizientena n und Exponenten λn dieser Reihe aus den analytischen Eigenschaften der Funktionf(s) bestimmen. Mit Benutzung dieser Bemerkung kann man offenbar die von HerrnCahen gefundenen Ausdrücke für die KonvergenzabszissenA undB so formulieren, dass man dadurch eine genaue Bestimmung der beiden Konvergenzgeraden σ=A und σ=B aus den analytischen Eigenschaften der Funktion erhält. Eine derart komplizierte und für die Anwendung völlig unbrauchbare Bestimmung der Konvergenzgeraden der Reihe aus den analytischen Eigenschaften der Funktion ist aber keineswegs als eine Lösung des Konvergenzproblems zu betrachten. Bei diesem letzten Problem handelt es sich ja eben darum, den etwaigen Zusammenhang zwischen der Lage der Konvergenzgeraden der Reihe undeinfachen analytischen Eigenschaften der Funktion zu studieren. Vergl. in dieser Beziehung auch die interessante Arbeit des Herrn W.Schnee: „Über die Koeffizientendarstellungsformel in der Theorie der Dirichletschen Reihen” (Göttinger Nachrichten, Math. phys. Kl., 1910).Google Scholar
  3. 2.
    Diese einschränkenden Bedingungen laufen im Wesentlichen darauf hinaus, dass die Exponenten λn nicht allzu dicht aneinander folgen dürfen, und dass ihre Verteilung nicht allzu unregelmässig sein darf.Google Scholar
  4. 1.
    „Bidrag til de Dirichletske Raekkers Theori” (Kopenhagen 1910), S. 34.Google Scholar
  5. 1.
    Unter dem Ausdruck: „Eine Funktionf (s) ist für σ > σ0 beschränkt” ist zu verstehen: Es gibt eine positive KonstanteK derart, dass, für σ > σ0, │f(s)│<K ist.Google Scholar
  6. 2.
    Sur la convergence des séries de Dirichlet” (Comptes rendus, Paris, I. August 1910). Die obige Bedingung unterscheidet sich wesentlich von allen Bedingungen, die man bei früheren Untersuchungen über Dirichletsche Reihen der Exponentenfolge auferlegt hat. Diese letzten Bedingungen behandeln nämlich stets dieungefähre Lage der Exponenten, sie sagen z. B. aus, dass die Exponenten nicht allzu dicht aufeinander folgen dürfen oder dergleichen; während die obige Bedingung des Textes eine arithmetische Bedingung ist, d. h. eine Bedingung, welche diegenaue Lage der Exponenten betrifft.Google Scholar
  7. 1.
    An Stelle von I könnte natürlich auch jede andere positive Konstante stehen.Google Scholar
  8. 1.
    ℜ(z) bedeute stets den reellen Teil einer komplexen Zahlz.Google Scholar
  9. 1.
    Wenn die Koeffizienten der Reihe (I) sämtlich gleich o sind, nimmt die Funktionf(s) nur den Wert o an; wenn nur ein Koeffizient # o ist, nimmtf(s) jeden Wert ausser o an.Google Scholar
  10. 1.
    Unter dem Ausdruck: es nimmt die Funktionf(s) den Wertz in unendlicher Nähe der Geraden σ=σ0 an, ist zu verstehen: Bei jedem δ>0 nimmt die Funktionf(s) im Streifen σ0δ < σ < σ0 + δ den Wertz an.Google Scholar
  11. 1.
    Es ist hier der folgende Satz angewendet: «Es sei o<r 1 <r 2,und die durch die Potenzreihe \(\sum\limits_{m = 0}^\infty {A_m x^m } \) dargestellte Funktion F(x) für |x|≦r2 regulär, sowie, für |x|≦r2, |F(x)|<k; dann gibt es eine Konstante k1=k1(r1, r2, k) devart, dass für\(|x|{\mathbf{ }} \leqq r_1 ,\sum\limits_{m = 0}^\infty {|A_m x^m |}< {\mathbf{ }}k_1 \) ist.» Die Richtigheit dieses Satzes ist unmittelbar einzusehen. Aus |F(x)|<k für |x|≦r 2 folgt nämlich für allem=0, 1, 2, ... die Abschätzung |Am|<k∶r 2 m, und hieraus ergibt sich weiter für |x|≦r 1 \(\sum\limits_{m = 0}^\infty {|A_m x^m |}< {\mathbf{ }}k{\mathbf{ }}\sum\limits_{m = 0}^\infty {\left( {\frac{{r_1 }}{{r_2 }}} \right)^m = k\frac{{r_2 }}{{r_2 - r_1 }} = k_1 } \)q. e. d.Google Scholar
  12. 1.
    Die oben verwendete Beweismethode, nämlich von derTaylor'schen Reihenentwickelung der durch die Dirichletsche Reihe dargestellten Funktion auszugehen und dann nachher durch Summationsvertauschung einer Doppelreihe zu der Dirichletschen Reihe zurückzukehren, ist zuerst von HerrnLandau benutzt, der sie verwendet um den folgenden Satz über Dirichletsche Reihen mitpositiven Koeffizienten zu beweisen: «Es habe die Dirichletsche Reihe \(\sum {a_n e - \lambda _n s} \),wo stets a n ≧0 ist, die im Endlichen gelegene Konvergenzgerade δ=A Dann ist s=A ein singulärer Punkt der für δ>A durch die Reihe definierten Funktion f(s).» Beim Beweise desLaudau'schen Satzes war die Erlaubnis der Summationsvertauschung der dort vorkommenden Doppelreihe von vornherein klar, weil ihre Elemente sämtlich≧0 waren. Beim obigen Beweise des Textes dagegen, war es gerade die wesentlichste, und erst durch Heranziehen des recht tief liegenden Satzes I zu überwindende Schwierigkeit, die Erlaubnis dieser Summations vertauschung der Doppelreihe zu beweisen.Google Scholar
  13. 1.
    Die Formel (II) gilt, wie unmittelbar zu ersehen, auch in den beiden speziellen Fällenf(s o)=0,f′(s 0)≠0, bezw.f(s 0)=0, wo die FunktionF(s) im Punktes 0 einen Pol der ersten Ordnung, bezw. eine reguläre Stelle bezitzt.Google Scholar
  14. 1.
    Dagegen nimmt, wie ich vor kurzem bewiesen habe (“Über das Verhalten von ζ(s) in der Halbebene δ>I”, Göttinger Nachrichten, 1911), die Funktion ζ(s) in der Halbebene δ>I jeden Wert ausser den einzigen Wert 0 an. Da hier von der Zetafunktion die Rede ist, bemerke ich beiläufig, dass aus dem Satze 4a des § 3 unmittelbar folgt,dass die beiden Dirichletschen Reihen \(\sum {\frac{I}{{p^s }}und{\mathbf{ }}\sum {\frac{{log{\mathbf{ }}p}}{{p^s }},{\mathbf{ }}(p = 2,{\mathbf{ }}3,{\mathbf{ }}5,{\mathbf{ }}7,...)} } \), welche mit der Zetafunktion in naher Verbindung steht,in der Halbebene δ>Ijeden Wert annimmt; denn es ist die Exponentenfolge logp linear unabhängig, und es sind die beiden obigen Reihen für δ>I absolut konvergent, für δ=I dagegen nicht absolut konvergent.Google Scholar
  15. 2.
    An Stelle von o könnte natürlich hier und im folgenden jede andere reelle Zahl stehen.Google Scholar
  16. 1.
    Es kann natürlich, dem Hauptsatze zufolge, die Exponentenfolge der Reihe hierbei linear nicht unabhängig sein.Google Scholar
  17. 1.
    Unter\(\sum\limits_{n = 1}^0 {u_n } \) ist o zu verstehen.Google Scholar

Copyright information

© Almqvist & Wiksells Boktryckeri-A.-B. 1913

Authors and Affiliations

  • Harald Bohr
    • 1
  1. 1.Kopenhagen

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