Ein neues Verfahren zur Berechnung von Einelektronenzuständen in Kristallen

Zusammenfassung

Zur Berechnung der Einelektronenzustände in Kristallen wird ein Verfahren entwickelt, bei dem verschiedene Darstellungen für die Wellenfunktionen benützt werden. Im Inneren einer dem Atompolyeder einbeschriebenen Kugel von Radiusr ₀ wird die Wellenfunktion aus Produkten von Kugelflächenfunktionen und Radialfunktionen dargestellt, wobei letztere so ausgewählt werden, daß gute Orthogonalität auf den Wellenfunktionen der Rumpfelektronen erreicht wird. Im Restbereich des Atompolyeders wird die Wellenfunktion nach ebenen Wellen entwickelt, wodurch die Forderung der Translationssymmetrie von vornherein erfüllt wird. Im Unterschied zu anderen Verfahren, die ähnliche Ansätze für die Wellenfunktion benützen, sind die Wellenfunktionen und ihre Ableitungen im ganzen Raum stetig. Diese Ansätze werden in ein der Schrödingergleichung äquivalentes Extremalprinzip eingesetzt, wobei die Stetigkeitsbedingungen als zusätzliche Nebenbedingungen erfüllt sein müssen. Durch eine zusätzliche Variation der Radialfunktionen im Kugelbereich wird erreicht, daß die Wellenfunktion im ganzen Raum gleichmäßig gut angenähert wird.

Résumé

On développe une méthode pour calculer les états monoélectroniques dans les cristaux, et qui utilise différentes représentations pour les fonctions d’onde. A l’intérieur d’une sphère de rayonr ₀, inscrite au polyèdre atomique, la fonction d’onde est représentée par des produits de fonctions harmoniques sphériques et de fonctions radiales, en choissant ces dernières de telle sorte que l’on obtienne une bonne orthogonalité avec les fonctions d’onde des électrons des couches internes. Dans le reste du polyèdre atomique la fonction d’onde est développée en ondes planes, ce qui garantit dès le début la symétrie de translation. Les fonctions d’onde et leurs dérivées sont continues dans tout l’espace, et ceci contrairement à d’autres méthodes utilisant des fonctions d’essai analogues. Ces fonctions d’essai sont introduites dans un principe variationel équivalent à l’équation de Schrödinger, en tenant compte des conditions supplémentaires de continuité. Par une variation supplémentaire de la fonction radiale dans le domaine sphérique, on arrive à une approximation de la fonction d’onde uniformément bonne dans tout l’espace.

Abstract

A new method is presented for the calculation of wave-functions and energy-bands of electrons moving in a periodic potential in the one-electron approximation, which is based on different representations of the wave-functions. The wave-functions are expanded in spherical harmonies and radial solutions of the wave equation within a sphere inscribed in the atomic polyhedron. By suitable choice of the radial functions it is possible to obtain wave-functions which are well orthogonal to the functions of the core electrons. Outside the sphere the wave-functions are expanded in plane waves, having the correct translation symmetry. In contrast to other methods using similar expansions, the wave-functions and their first derivatives in our method are continuous in the whole space. These trial functions are introduced into a variational principle equivalent to the Schrödinger equation in which the conditions of continuity of the wave-functions and their first derivatives are taken into account by the method of undetermined multipliers. By an additional variation of the radial functions inside the sphere one may obtain functions which approximate the real functions leaving only an uniform error in all space.