Acta Mathematica

, Volume 50, Issue 1, pp 159–188 | Cite as

Über die Anwendung einer Klasse uniformisierender Tranzendenten zur Untersuchung der Wertverteilung analytischer Funktionen

  • Frithiof Nevanlinna
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References

  1. 1.
    Gesammelte Abhandlungen, Bd. II, S. 362–364.Google Scholar
  2. 1.
    Wennz einen geschlossenen Umlauf vollführt, so geht ζ in\(\zeta ' = \frac{{\alpha \zeta + \beta }}{{\gamma \zeta + \delta }}\) über, wo α, β, γ, δ reell und αδ−βγ>o. Hiernach ist\(\left| {d\zeta '} \right| = \frac{{\alpha \delta - \beta \gamma }}{{\left| {\gamma \zeta + \delta } \right|^2 }}\left| {d\zeta } \right| und \mathfrak{J}(\zeta ') = \frac{{\alpha \delta - \beta \gamma }}{{\left| {\gamma \zeta + \delta } \right|^2 }}\mathfrak{J}(\zeta )\) und somit in der Tat\(\frac{{\left| {d\zeta '} \right|}}{{\mathfrak{F}(\zeta ')}} = \frac{{\left| {d\zeta } \right|}}{{\mathfrak{F}(\zeta )}}\).Google Scholar
  3. 1.
    In der Tat ist, wenn wirz=x+iy, ζ=ξ+iν schreiben,\(\Delta u = \Delta \log \left| {\frac{{d\zeta }}{{dz}}} \right| - \Delta log \eta = - \Delta log \eta = \frac{I}{{\eta ^2 }}\left\{ {\left( {\frac{{\partial \eta }}{{\partial x}}} \right)^2 } \right. + \left. {\left( {\frac{{\partial \eta }}{{\partial y}}} \right)^2 } \right\} = \frac{I}{{\eta ^2 }}\left| {\frac{{d\zeta }}{{dz}}} \right|^2 = e^{2u}\).Google Scholar
  4. 1.
    Dies ergibt sich unmittelbar aus der elementaren Theorie der Extremwerte.Google Scholar
  5. 1.
    Ich verweise insbesondere auf folgende Abhandlungen: F. undR. Nevanlinna:Über die Eigenschaften analytischer Funktionen in der Umgebung einer singulären Stelle oder Linie, Acta Soc. Scient. Fennicae, Tom L N:o 5.R. Nevanlinna:Zur Theorie der meromorphen Funktionen, Acta mathematica Bd. 46.Google Scholar
  6. 2.
    E. Lindelöf:Mémoire sur la théorie des fonctions entières de genre fini. Acta Soc. Sc. Fennicae, T. 31, 1902.Google Scholar
  7. 3.
    Wir machen darauf aufmerksam, dass μ(r) eine für o≦r<R stetige Funktion vonr ist.Google Scholar
  8. 1.
    Rolf Nevanlinna, loc. cit.Über die Eigenschaften analytischer Funktionen in der Umgebung einer singulären Stelle oder Linie, Acta Soc. Scient. Fennicae, Tom. L N:o 5. S. 14.Google Scholar
  9. 2.
    Es ist\(\mathop {\log }\limits^ + \left| {z - a} \right| \leqq \mathop {\log }\limits^ + (\left| z \right| + \left| a \right|) \leqq \mathop {\log }\limits^ + \left| z \right| + \mathop { \log }\limits^ + \left| a \right| + log 2\) und andererseits\(\mathop {\log }\limits^ + \left| z \right| = \mathop {\log }\limits^ + \left| {z - a + a} \right| \leqq \mathop {\log }\limits^ + (\left| {z - a} \right| + \left| a \right|) \leqq \mathop {\log }\limits^ + \left| {z - a} \right| + \mathop {\log }\limits^ + \left| a \right| + log 2\), woraus die obige Ungleichung folgt.Google Scholar
  10. 1.
    Dieser Ordnungsbegriff ist in dem speziellen Fall einer ganzen Funktion mit der herkömmlichen äqvivalent. Überhaupt ergibt eine systematisch durchgeführte potentialtheoretische Analyse der harmonischen Funktion (11) u. A. als Spezialfall die klassische Theorie der ganzen Funktionen endlicher Ordnung. Wir verweisen in dieser Hinsicht auf eine kleine Schrift des Verfassers:Bemerkungen zur Theorie der ganzen Funktionen endlicher Ordnung (Soc. Scient. Fennicae, Comm. Phys.-Mat. II. 4, 1923) und vor allem auf die zwei ersten Kapiteln der oben erwähnten Abhandlung:Zur Theorie der meromorphen Funktionen vonRolf Nevanlinna.Google Scholar
  11. 1.
    Man bemerke, dass der Mittelwert μ(r), wie der entsprechende Mittelwert in dem Jensenschen Satze, für o≦r<R stetig ist.Google Scholar
  12. 1.
    Diese Ungleichung ergibt sich durch einen einfachen Grenzübergang aus der bekannten Tatsache, dass das geometrische Mittel positiver Zahlen höchstens gleich dem arithmetischen Mittel dieser Zahlen ist.Google Scholar
  13. 1.
    DerPicard-Landausche Satz kann nachCharatheodory am einfachsten direkt mit Hilfe der linear polymorphen Funktion ζ(z; a 1, a2,..., aq−1, ∞) folgendermassen bewiesen werden: Wenn ein beliebiger Zweig der Funktion ζ(z) mit der zu untersuchenden regulären Funktion, die wir jetzt mitf(x)0p x p+⋯ statt mitz(x) bezeichnen, zusammengesetzt wird, so ist die zusammengesetzte Funktion ζ[f(x); a 1, a2,..., aq−1, ∞] im vorliegenden Fall, wof(x)a 1, a2,..., aq−1 und ∞, für |x|<R eindeutig und regulär. Da ferner ℑ(ζ)>o, so ist die Funktion\(\varphi (x) = \frac{I}{{x^p }}\frac{{\zeta [f(x)] - \zeta (\gamma _0 )}}{{\zeta [f(x)] - \bar \zeta (\gamma _0 )}} = \frac{{\gamma p\zeta '(\gamma _0 )}}{{2i\mathfrak{J}[\zeta (\gamma _0 )]}} + ...\) für |x|<R regulär und dem absoluten Betrag nach höchstens gleichR −p, wobei in Folge des Maximalmodulprinzips Gleichheit nur dann eintritt, wennR p|φ(x)|≡1, somit\(f(x) = z\left[ {\frac{{\zeta (\gamma _0 ) - \bar \zeta (\gamma _0 )\xi }}{{1 - \xi }};a_1 ,a_2 ,...,a_{q - 1,} \infty } \right],\left( {\xi = e^{ia} \left( {\frac{x}{R}} \right)^p } \right);\) hier bezeichnetz(ζ;a 1, a2,..., aq−1, ∞) die eindeutige und automorphe für ℑ(ζ)>o existierende Umkehrfunktion (4) der linear polymorphen Funktion ζ(z) und α eine reelle Konstante. Insbesondere ist also\(\left| {\varphi (o)} \right| = \frac{{\left| {\gamma p} \right|\left| {\zeta (\gamma _0 )} \right|}}{{2\mathfrak{J}[\zeta (\gamma _0 )]}} \leqq R^{ - p} , d. h. R \leqq R(\gamma _{0,} \gamma _p ),\) womit der Satz bewiesen ist. Dieser Beweis zeigt unmittelbar, dass die erhaltene Grenze genau ist, weil sie bei der oben genannten automorphen Funktion erreicht wird. Wir bemerken, dass diese Tatsache auch aus der Herleitung der Ungleichung (31) hervorgeht, wenn man an jeder Stelle auf die Bedingungen für das Bestehen des Gleichheitszeichens achtgibt.Google Scholar
  14. 1.
    Der erste Hauptsatz ergibt für |O(1)| die obere Grenze\(\left| {O(I)} \right|< \sum\limits_1^{q - 1} {(\left| {\log } \right|\gamma _0 - a_v \parallel + \mathop {\log \left| {a_v } \right|}\limits^ + ) + qk} \) wo γ0=z(o) undk eine rein numerische Konstante bezeichnet.Google Scholar
  15. 1.
    Sur les zéros des fonctions entières. Acta math. Bd. 20.Google Scholar
  16. 1.
    Wenn wir die dem Intervall (r, R) zugehörige Teilmenge vonI(k) mitI(r, k) bezeichnen, so ist hiernach\(\mathop {\lim }\limits_{r \to R} (R - r)^{ - 2} I(r,k) = o\).Google Scholar
  17. 1.
    Bei gewissen Fragestellungen, dieValiron (Acta Math. Bd. 47) neulich behandelt hat, ist es von Bedeutung, eine explizite untere Grenze der GrösseO(I), die hauptsächlich von den Wertena 1, a2,... aq−1 abhängt, zu kennen. Es bietet keine prinzipielle Schwierigkeiten die erhaltene Ungleichung in dieser Hinsicht zu komplettieren.Google Scholar
  18. 1.
    Diese Benennung hat HerrWiman in einer brieflichen Mitteilung an Rolf Nevanlinna vorgeschlagen.Google Scholar

Copyright information

© Almqvist & Wiksells Boktryckeri-A.-B. 1927

Authors and Affiliations

  • Frithiof Nevanlinna
    • 1
  1. 1.Helsingfors

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