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Questioni di forma e di realità relative a fasci di quadriche in uno spazio adn dimensioni

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Annali di Matematica Pura ed Applicata (1898-1922)

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Literatur

  1. Weierstrass,Zur Theorie der bilinearen und quadratischen Formen; Monatsberichte der Kgl. Preuss. Akad. der Wiss. zu Berlin, 18 Mai 1868, pp. 310–338; Math. Werke, II B.d, pp. 19–44.Kronecker,Algebraische Reduktion der Schaaren bilinearer Formen; Sitzungsberichte der Kgl. Preuss. Akad. der Wiss. zu Berlin, 1890, pp. 1225–1237. Un'esposizione sistematica ed elementare di queste teorie si può vedere in:Muth,Theorie und Anwendung der Elementartheiler; Leipzig, 1899, § 8; eW. F. Meyer — J. Drach,Théorie des formes et des invariants; Encyklop. des Sc. Math., I-11, p. 412 e seg. (v. anche nell'Encyklop. tedesca l'art.:Invariantentheorie dello stesso W. Fr.Meyer, I B 2, pp. 320–403, n.o 3).

  2. Segre,Studio sulle quadriche in uno spazio lineare ad un numero qualunque di dimensioni; Mem. della R. Acc. delle Sc. di Torino, (2) 36 (1885), pp. 3–86 —Sulla geometria della retta e delle sue serie quadratiche; id., pp. 87–157. —Étude des différentes surfaces du 4.e ordre à conique double ou cuspidale etc.; Math. Ann., 24 (1884), pp. 313–444. A questi lavori rinviamo il lettore per la bibliografia sull'argomento.

  3. V. nota (18).

  4. Klein,Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen, Programm, Erlangen, 1872 (Gesammelte Math. Abhandl., 1.er B.d, pp. 460–497); trad. ital.Fano in questi Annali, (2) 17 (1889–1890), pp. 307–343.

  5. Klein,Ueber Flächen dritter Ordnung; Math. Ann., 6 (1873), pp. 551–581, § 16. Vedi ancheComessatti,Sulla connessione delle superficie razionali reali; questi Annali, (3) 23 (1914), pp. 215–284, nota (17) al n.o 6, nella quale si trovano pure altre indicazioni bibliografiche.

  6. G. C. C. v. Staudt,Die Geometrie der Lage, Nürnberg, 1847 (traduz. ital.Pieri, Torino, 1889), § 12.Klein, loc. cit. nella nota (5), § 15.Berzolari,Allgemeine Theorie der höheren ebenen algebraischen Kurven; Encyklop. der Math. Wiss., III C 4, n.o 19 a p. 383.

  7. La distinzione analoga per le falde pari di superficie dello spazio ordinario è dovuta alKlein, loc. cit. nella nota (5), § 15.

  8. Cremona,Mémoire de géométrie pure sur les surfaces du troisième ordre; Crelle, 86 (1868), pp. 1–133; Opere Matematiche, III, pp. 1–122; n.i da 161 a 170. Per altre indicazioni bibliografiche si veda:Staude,Flächen 2. Ordnung und ihre Systeme und Durchdringungskurven; Encyklop. der Math. Wiss., III C 2, pp. 161–256, n.o 126. (V. ancheChisini,Sulla forma delle quartiche gobbe di prima specie e delle curve ellittiche normali; Rend. Ist. Lomb., (2) 53 (1919–1920), pp. 591–599, § 4).

  9. H. G. Zeuthen,Su le superficie di 4.o ordine con conica doppia; questi Annali, (2) 14 (1886), pp. 31–70 (trad. dal danese diGino Loria). (V. ancheSegre, Mem. dei Math. Ann. cit. nella nota (2), n.o 143).

  10. Th. Reye,Ueber die Hauptarten des allgemeinen quadratischen Strahlencomplexe und Complexengewebe; Crelle, 98 (1885), pp. 284–300.C. Arnoldt,Einige Untersuchungen über quadratische Strahlencomplexe; Diss., Strassburg, 1887, p. 38. Nè ilReye, nè l'Arnoldt, non considerano nulla che interpreti in qualche modo nello spazio ordinario il numero e la specie delle falde della varietà diS 5 immagine d'un complesso quadratico di rette diS 3.

  11. Staudt, loc. cit., n.o 157. Il ragionamento di questo n.o 4 è analogo a quello della nota al n.o 158 delloStaudt.

  12. Harnack,Ueber die Vieltheiligkeit der ebenen algebraischen Curven; Math. Ann., 10 (1876), pp. 189–198.Hilbert,Ueber die reellen Züge algebraischer Curven; Math. Ann., 38 (1891), pp. 115–138, in fondo a p. 119. V. anche nota (8).

  13. Ciò si collega a due teor. noti:Weierstrass, loc. cit. nella nota (1), n.o 7;Kléin,Ueber die Transformation der allgemeinen Gleichung des zweiten Grades zwischen Linien-Coordinaten auf eine canonische Form; Math. Ann., 23 (1884), pp. 539–596, n.o 16 e relativa nota a p. 562 (Gesammelte Math. Abhandl., l.er B.d, pp. 1–48). V. ancheSegre,Mehrdimensionale Räume, Encyklop. der Math. Wiss., III C 7, nota (296) a pag. 866.

  14. Rosati,Sugli spazi lineari di dimensione massima contenuti in una quartica base di un fascio di quadriche in uno spazio a dimensione pari; Rend. Ist. Lomb., (2) 32 (1899), pp. 1267–1273.

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  15. Infatti, gliS k diV incontrano ogniSσ della piramideA 0 A 1 ...A n in uno spazio la cui dimensione è proprio quella minima che comportano i valori dik eσ (20); ora, se lo spazio α\(\bar \alpha\) contenesse uno dei vertici dei coni del fascio situati suS, ad es.A, loS l+1 ≡r A incontrerebbe α in un punto, e quindi ne seguirebbe:k+(l+1)=2k+2, cioè:l=k+1, il che è assurdo, perchè si è suppostol≤k.

  16. I risultati del n.o 38 possono applicarsi alla classificazione, dal punto di vista topologico, dei complessi quadratici di rette dello spazio ordinario, ritrovando cosi i risultati delReye e dell'Arnoldt (10). Per far ciò,occorre fissare entro il fascio una quadrica Q, di specie 2, come immagine delle rette d'un S 3. Ora, nei casia), b), d), h), i), il fascio contiene un sol tratto di quadriche di specie 2; entro questo, senza ambiguità, va sceltaQ. Invece, nel casoc), il fascio contiene due tratti di quadriche di specie 2,in condizioni diverse, perchè l'S 3 che congiunge i vertici dei 4 coni reali sega le quadriche di quei due tratti in quadriche rigate, in modo però che le quadriche di uno di essi danno luogo a quadriche sezioni le cui generatrici incontrano tutte la quartica base in due punti reali e distinti, mentre quelle dell'altro danno quadriche sezioni contenenti anche generatrici esterne alla quartica base; dal casoc) si ottengono perciò due diversi tipi di complessi quadratici secondochèQ vien scelta nell'uno o nell'altro dei due tratti. Così nel casog); anche qui si hanno nel fascio due tratti di quadriche di specie 2 in condizioni diverse, perchè il piano diS (0)0 e diS (3)1 è esterno rispetto a quelle dell'un tratto e segante rispetto a quelle dell'altro. Invece, nei casie), f) non si trovano suddivisioni ulteriori. Tenuto conto di ciò, i nostri casi corrispondono a quelli delReye nel modo seguente:a) complesso iperbolico (I. Art);b) complesso parabolico (II. Art);c) complesso parabolico (III a . e III b . Art);d) complesso ellittico (IV. Art);e) f) complesso parabolico (V a . e V b . Art);g) complesso ellittico (VI a . e VI b . Art);h) complesso ellittico (VII. Art);i) complesso immaginario (VIII. Art).

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  1. Torino

    Eugenio G. Togliatti

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  1. Eugenio G. Togliatti
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Togliatti, E.G. Questioni di forma e di realità relative a fasci di quadriche in uno spazio adn dimensioni. Annali di Matematica, Serie III 30, 75–117 (1921). https://doi.org/10.1007/BF02420220

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