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Sull'equazione del calore

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Annali di Matematica Pura ed Applicata (1898-1922)

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  1. Cfr.E. W. Hobson, Art.Wärmeleitung nell'Encyclopädie der Math. Wiss. Bd. V, 1, pag. 174. E più in generaleV. Volterra,Leçons sur l'intégration des équations diff. etc., professées à Stockholm, 1906, pag. 64–65.

  2. Volterra, l. c., pag. 67–69.

  3. Tale risultato fu da me dimostrato per l'equazione (II) nella Nota:Sul problema di Cauchy (Rendiconti della R. Accademia dei Lincei, Vol. XVI, serie 5.a, 1907, 2.o semestre, pag. 105 e sg). Cfr. anche la Memoria diE. Holmgren,Om Cauchy's problem vid de lineära, etc. (Archiv för Matematik Astronomi och Fysik, Stockholm, Vol. II, (1906)).

  4. Valgono relativamente a questa equazione le osservazioni fatte relativamente all'equazione (I) in una Nota precedente a pag. 187.

  5. Questi lavori si ispirano tutti ai metodi della celebre Memoria delPoincaré:Sur les équations de la Physique Mathématique (Rendiconti del Circolo Mat. di Palermo, 1894). Per le indicazioni bibliografiche cfr. la Memoria delLauricella,Applicazioni della teoria di Fredholm al problema del raffreddamento dei corpi, a pag. 143 e sg. del presente volume degliAnnali.

  6. I risultati del presente lavoro furono già riassunti in una Nota pubhlicata neiRend. della R. Acc. dei Lincei (tomo XVI, serie 5.a, 6 ottobre 1907) portante lo stesso titolo di questa Memoria. Recentemente, quando già questo lavoro era in bozze seppi che qualcuno di questi risultati era già stato ottenuto per altra via dal sig.E. Holmgren,Sur une application de l'équation intégrale de M. Volterra. Archiv för Mat. (9 aprile 1907); precisamente l'H. dimostra il teorema di esistenza per i contorni che nel lavoro sono detti di seconda specie. Vedi ancheE. Holmgren, C. R. 30 dicembre 1907.E. E. Levi, C. R. 27 gennaio 1908. Ed anche vediS. Bernstein, C. R. gennaio 1905. Gli stessi metodi usati in questa Memoria ho applicato a risolvere altri problemi analoghi nella Nota:Sul problema di Fourier, pubblicata negli Atti della R. Acc. delle Scienze di Torino (1907–1908).

  7. Cfr.E. W. Hobson, l. c., pag. 184.e). Ed ancheRiemann-Weber,Partielle Differentialgleichungen. Vol. II, § 44–48. È chiaro del resto come l'ufficio di questa formula in questa dimostrazione è del tutto accessorio: cfr. il n. 17 e specialmente la seconda nota a pag. 219 ed il n. 31 e la nota relativa a pag. 263.

  8. Cfr.Riemann-Weber, l. c., Vol. II, § 36;Hobson, l. c., pag. 186–7.i): e pel caso di più dimensioni,Hobson, l. c., pag. 195.d).

  9. Cfr. n. 22. Ed anche per ulteriori studii analoghi cfr. n. 27.

  10. Tale proposizione è notissima. Cfr. ad es.Riemann-Weber, l. c., Vol. II, § 36. Del resto più oltre io ho dimostrato per disteso il teorema analogo per il caso di 2 variabili : ed i ragionamenti là usati si possono ripetere in questo luogo. Cfr. la nota al n. 26.

  11. Cfr.Fredholm,Sur une classe d'équations fonctionnelles. Acta Math. 27, § 16. Del resto nella Nota:Sulle equazioni integrali (Rendiconti della R. Accademia dei Lincei, 1907, 2.o sem., Vol. XVI, serie 3.a) ho dimostrato che perchè si possano applicare i teoremi delFredholm è sufficiente che la funzione caratteristica sia assolutamente ed uniformemente integrabile sia rapporto ady che ady 1.

  12. La ragione di ciò sta nel fatto che i limiti dell'integrale in (5) sono variabili: l'equazione (5) risulta così perfettamente analoga a quelle studiate dalVolterra nelle note Memorie degliAnnali di Matematica, (vol. XXV serie 2a 1897,Sopra alcune questioni di inversione degli integrali definiti) e degliAtti della R. Accademia delle Scienze di Torino (1896). — 4 Note,Sulla inversione degli integrali definiti.

  13. Volterra,Leçons, pag. 67–68.

  14. Volterra, l. c., pag. 69.

  15. A. Harnack,Die Grundlagen der Theorie des logaritmischen Potentiales, etc. Leipzig, Teubner, 1887. Cap. 4, pag. 116 e sg.

  16. E. E. Levi,Sul problema di Cauchy. (Rendiconti della R. Accademia dei Lincei 1907 2.o semestre) Cfr. pureE. Holmgren,Om Cauchys problem etc. (Arkiv för Matematik etc. Vol. II (1906)).

  17. Il metodo che seguiremo è simile a quello che ho tenuto nel dimostrare il teorema analogo per le soluzioui delle equazioni ellittiche nella Memoria:Sulle equazioni lineari totalmente ellittiche alle derivate parziali, § II (Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo 1907, tomo XXIV). Cfr. anche una Nota collo stesso titolo pubblicata neiRendiconti della R. Acc. dei Lincei, 2.o semestre 1907.

  18. Cfr.Riemann-Weber,Partielle Differentialgleichungen, Vol. 2, § 50.

  19. Cfr. nota a pag. 234 (n. 23).

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Levi, E.E. Sull'equazione del calore. Annali di Matematica, Serie III 14, 187–264 (1908). https://doi.org/10.1007/BF02420191

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