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Sulla curva razionale normale dello spazio a quattro dimensioni

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Annali di Matematica Pura ed Applicata (1898-1922)

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Literatur

  1. Per l'opportunità di questa scelta cfr.Pittarelli,La cubica gobba e le forme binarie quadratíche e cubiche. Giorn. di Mat. XVII (1879) § II.

  2. V. Clebsch,Theorie der binären algebraischen Formen. Leipzig, 1872. § 50.

  3. Per questo teorema e per qualcuno dei seguenti cfr. ancheAschieri,Sulla curva normale di uno spazio a quattro dimensioni. Mem. Acc. Lincei, Serie 4.a, Vol. IV.

  4. Clebsch, loc. cit., § 48.

  5. V. Clebsch, loc. cit., § 40, form. (8), per la prima eSalmon-Fiedler,Vorlesungen über die Algebra, u. s. w. (Leipzig 1877), 202, per la seconda.

  6. Si not che il primo membro di (4) coincide, a meno del fattor numerico 3, col discriminanteD ψψ di ψ 2 x =(F a)2 a 2 x , come risulta dalla (3) del § 60 diClebsch, loc. cit.

  7. Clebsch, loc. cit., § 35, Form. (2) (4).

  8. V. Caporali,Sul sistema di due forme binarie cubiche (Mem. di Geometria, Napoli 1888, Pag. 219);Stephanos,Sur les faisceaux de formes binaires ayant une même jacobienne (Mém. pres. à l'Acad. des Sciences, etc., XXVII) Pag. 43;Berzolari,Sulla teoria dell'involuzione ecc. (Rend. R. Acc. delle Scienze, Napoli, 1891) eSull'involuzione cubica (ibidem).

  9. Il teorema in fine del N.o 6 è un caso particolare di questo.

  10. Clebsch, loc. cit., § 41, Pag. 138.

  11. Clebsch, loc. cit., § 41, Form. (5).

  12. Si noti l'analogia fra la trattazione presente e quella relativa alla cubica gobba nel § IV della Nota:Intorno alla rappresentazione delle forme binarie cubiche e biquadratiche sulla cubica gobba del prof.Berzolari. (Rend. Circ. Mat. di Palermo, Tomo V, 1890.) Cfr. pure le Note già citate:Sulla teoria dell'involuzione ecc. eSull'involuzione cubica.

  13. V. N.o 7.

  14. Clebsch, loc. cit., § 40, Form. (5).

  15. Clebsch, loc. cit., § 44, Form. (4).

  16. Il che si può anche dedurre dal teorema precedente, per mezzo delle considerazioni geometriche svolte in:Castelnuovo,Ricerche di geometria della retta nello spazio a quattro dimensioni (Atti R. Ist.o Ven.o, Tomo II, Serie 7a), N.o 7.

  17. Clebsch, loc. cit., § 57, Form. (1).

  18. Veronese,La superficie omaloide normale ecc. (Mem Acc. Lincei, Serie III, Vol. 19, Pag. 344). Anche questa proposizione si può dedurre geometricamente da quelle già enunciate, secondoCastelnuovo, (loc. cit.).

  19. Piú innanzi (V. 15) si troveranno anche i punti in cui le corde segano la retta sizigetica.

  20. Clebsch, loc. cit., § 45, Form. (1).

  21. LaC si trova dunque rispetto aT 6 x ≡o nelle condizioni della curvaC 4 considerata dal Sig.Segre al N.o 43 della MemoriaSulle varietà cubiche dello spazio a quatro dimensioni (Mem. R. Acc. delle Scienze di Torino, 1888) e della γ4 introdotta dal Sig.Castelnuovo (loc. cit.) in fine del N.o 7 (Pag. 18). Si noti che projettando da un punto diS 4 su unS 3 la curvaC e la superficieT 6 x ≡o, per quanto si è visto, si ottiene una quartica razionale e la superficie diSteiner di cui essa è assintotica. Il punto triplo e le rette doppie della superficie diSteiner sono projettati dalla retta sizigetica che passa per il centro di projezione e dai corrispondenti piani di bisecanti laT 6 x ≡o. Se il centro di projezione è preso sullaT 6 x ≡o, invece della superficie diSteiner, si ha una superficie del 3o ordine con retta doppia.

  22. Loc. cit., Pag. 57 e seguenti.

  23. Estensione dei complessi lineari relativi alla cubica gobba studiati daSturm,Darstellung binärer Formen auf der cubischen Raumcurve (Crelle's Journal Bd. 86) N.o 23.

  24. V. Clebsch, loc. cit., § 76, Pag. 284.

  25. Clebsch, loc. cit., § 110.

  26. Clebsch, loc. cit., § 42, Form. (4).

  27. La (3) si trova inStephanos, loc. cit., Pag. 68 Form. (2).

  28. La (4) si trova pure in:Stephanos loc. cit., Pag. 97, con diverse notazioni.

  29. Anche le formeηrs sono introdotte dalloStephanos, (loc. cit., Pag. 97).

  30. Come risulterebbe anche geometricamente (Cfr.Castelnuovo, loc cit., N. 10, Pag. 23).

  31. Clebsch. loc. cit., § 40, Form. (5).

  32. Per le (7), (8), Cfr.Stephanos, loc. cit., Pag. 109, 112.

  33. Castelnuovo, loc. cit., N.o 9, Pag. 26.

  34. Loc. cit., Pag. 109.

  35. Per la (U T)6=o sono così dimostrate le proprietà fondamentali della varietà cubica con 10 punti doppi studiata dai Sigg.Segre eCastelnuovo. V. per questo:Segre.Sulla varietà cubica con 10 punti doppi ecc. (Atti Acc. delle Scienze di Torino, 1887).Sulle varietá cubiche dello spazio a quattro dimensioni (Mem. Acc. delle Scienze di Torino, 1888).Castelnuovo,Sulle congruenze del 3 o ordine dello spazio a quattro dimensioni (2a Mem. Atti Ist. Ven., 1888) e loc. cit., (Pag. 27). Cfr. pure;Dragoni,Sulla varietà cubica di S 4 ecc. (Giorn. di Mat., Vol. XL, Pag. 255).

  36. Stephanos, loc. cit., Pag. 70.Maisano,La sestica binaria, (Mem. Acc. Lincei, Serie III, Vol. 19) Pag. 19, Form. (23).

  37. Loc. cit., Parte 2a, n.o 9. Form. (2), n.o 16, Form. (7), n.o 12, Form. (7).

  38. Per questaV. Stephanos, loc. cit., Pag. 96, Form. (12).

  39. Cfr.Maisano, loc. cit., Cap. III, § 1.

  40. Cfr.Maisano, loc. cit., Cap. I, Teor. V e Cap. V.

  41. Loc. cit., § 111, Form. (9).

  42. Cfr.Clebsch, loc. cit., § 41.

  43. § 35, Form. (7), diClebsch, loc. cit.

  44. Clebsch, loc. cit., § 36, Pag. 123.

  45. Ueber die Bildung der Resultante zweier Gleichungen (Math. Ann. Bd. 3.), § 5. Form. (IX).

  46. Loc. cit., § 43, Form. (9).

  47. Loc. cit., Pag. 83.

  48. Loc. cit., Pag. 81.

  49. Cfr.Clebsch, loc. cit., § 95. Ivi è pure citato ilSalmon.

  50. Una quintica Ψ è infatti apolare ad una cubica, coincidente col covariantejψ. (Cfr.Clebsch, loc. cit., § 76, Pag. 281 e § 95, Pag. 381).

  51. Se da un puntoO diS 4 si projettaC su di un ipérpiano Σ, si ottiene una curva razionale del 4o ordine C′ di Σ. Le rette di un complesso (3) passanti perO formano un cono quadrico segato da Σ in una quadrica, la quale, al variare del complesso nel fascio, descrive un notevole fascio di quadriche annesso aC′, determinato dalla quadrica contenenteC′ (sezione del cono diS 2 trisecantiC) e dalla quadrica inviluppata dai piani secantiC′ in quaterne equianarmoniche (sezione del cono circoscritto adi=o). Per tale fascio di quadriche Cfr.Berzolari,Sui combinanti di forme binarie annessi alle curve gobbe razionali del quart'ordine (Annali di Matem., Serie II, Tomo XX), § 4.

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  1. Pavia

    Luigi Brusotti

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  1. Luigi Brusotti
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Brusotti, L. Sulla curva razionale normale dello spazio a quattro dimensioni. Annali di Matematica, Serie III 9, 311–352 (1904). https://doi.org/10.1007/BF02419879

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