I polinomi d'approssimazione di Tchebychev

  • Leonida Tonelli
Article

Preview

Unable to display preview. Download preview PDF.

Unable to display preview. Download preview PDF.

Literatur

  1. (*).
    Un estratto di questa Tesi trovasi neiMathematische Annalen del 1903, 57 Band.Google Scholar
  2. (**).
    Le dimostrazioni dei risultati ottenuti dalFréchet sono state pubblicate nei fascicoli di Gennaio e Febbraio 1908 degliAnnales de l'École Norm. Sup., cioè quando il presente lavoro era già depositato alla redazione degliAnnali di Matematica. Durante la correzione delle bozze del presente lavoro sono venuto a conoscenza di un altro lavoro relativo alla rappresentazione approssimata della funzioni di una variabile reale:General theory of approximation by functions, ecc., diJ. W. Young (Transaction of the American Math. Soc., Luglio 1907).Google Scholar
  3. (*).
    Il primo a considerare la serie (1) fu ilBorel (vedi loc. cit.).Google Scholar
  4. (**).
    VediC. Arzelà,Sulle funzioni di linee (Memoria della R. Accademia delle Scienze dell'Istituto di Bologna, 1895), n. 3.Google Scholar
  5. (*).
    VediC. Arzelà,Sulle funzioni di linee (Memoria della R. Accademia delle Scienze dell'Istituto di Bologna, 1895), n. 6.Google Scholar
  6. (*).
    C. Arzelà, luogo citato. n. 5.Google Scholar
  7. (*).
    Arzelà, luogo citato, n. 3.Google Scholar
  8. (*).
    Vedi nota pag. 99.Google Scholar
  9. (*).
    Questa dimostrazione è modellata su quella delBorel relativa ai polinomi algebrici (vedi loc. cit.).Google Scholar
  10. (*).
    Diamo qui, di tale proposizione, una dimostrazione diversa da quella che ilPicard dà nel suoTraité d'Analyse facendo uso dell'integrale diPoisson. Ammetta, dapprima,f(x y) il periodo 2π rispetto ad ambedue le variabili. Dividiamo il quadratoA, di cui si è parlato al n. 2 del § I (P. S.), mediante parallele agli assix edy, in tanti rettangoli tali che in ciascuno di essi laf(x y) faccia un'oscillazione minore di\(\frac{\varepsilon }{2}\). SeA, B, C, D, sono i vertici di uno di questi rettangoli, consideriamo il triangolo che ha per vertici i punti della superficief(x y) i quali hanno per proiezione sul pianox y i puntiA, B, C. Parimenti consideriamo il triangolo analogo che ha per proiezione dei suoi vertici i puntiC, D, A. L'insieme di tutti i triangoli analoghi ai due precedenti e relativi a tutti i rettangoli in cui è stato divisoA costituisce una superficie poliedrica. La funzioneϕ(x y) rappresentata da tale superficie è, evidentemente, continua, oscillante riducibile, a periodo 2π rispetto ad ambedue le variabili e tale da rappresentaref(x y) a meno di ϕ (x y). La funzioneϕ(x y) è perciò (vediCerni,Sulla rappresentabilità di una funzione a due variabili per serie doppia trigonometrica. Rend. dell'Istituto Lombardo, 1901) sviluppabile in serie doppia diFourier, uniformemente convergente: ciò prova la nostra proposizione. Se poif(x y) non ammettesse rispetto adx e andy il periodo 2π, basterebbe con un cambiamento di variabili ridurre il campo in cui è data laf(x y) ad essere interno al quadratoA, continuare poi laf(x y) in tuttoA, in modo da renderla periodica, e ripetere il ragionamento precedente.Google Scholar

Copyright information

© Swets & Zeitlinger B.V. 1908

Authors and Affiliations

  • Leonida Tonelli
    • 1
  1. 1.Bologna

Personalised recommendations