Caratteristiche multiple e Problema di Cauchy

  • Eugenio Elia Levi
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Literatur

  1. (**).
    Goursat,Leçons sur l'intégration des équations aux derivées partielles du second ordre. Vol. II, Cap. X e specialmente pag. 299–302.Google Scholar
  2. (*).
    Goursat, Cap. X, n. 211, pag. 303–309.Google Scholar
  3. (***).
    E. E. Levi,Sul problema di Cauchy per le equazioni a caratteristiche reali e distinte. Rendiconti della R. Accademia dei Lincei, vol. XVIII, serie 5.a, 1.o sem. 1908, pag. 331–339. Ivi sono anche date altre indicazioni bibliografiche relative ai pochi casi particolari in cui questo teorema era stato dimostrato prima. Vedi anche le altre mie Note:Sul problema di Cauchy per le equazioni lineari in due variabili indipendenti a caratteristiche reali. Rendiconti dell'Istituto Lombardo, vol. XLI, serie II, Nota I (pag. 408–428), Nota II (pag. 691–712). Citerò in seguito questi miei lavori con « Lincei », « Lombardo I », « Lombardo II ». Noterò qui che i metodi usati in queste ultime note possono servire a stabilire altri teoremi di esistenza analoghi a questi: ad es. il teorema di esistenza che si presenta nel caso della estensione del metodo diRiemann alle equazioni di ordine superiore al secondo, quale è stata indicata dai sigg.Holmgren (Sur l'extension de la méthode d'intégration de Riemann. Archiv för Matematik, Astronomi och Fysik, Bd. 1, 1903–04) eBurgatti (Sull'estensione del metodo di integrazione di Riemann, ecc. Rendiconti della R. Acc. dei Lincei, 1906 (2.o sem.)).Google Scholar
  4. (****).
    È noto l'esempio dellaKovalevski (Theorie der partiellen Differentialgleichungen. Crelles Journal, 80). Vedi anche gli altri delRiquier (Sur une question fondamentale du calcul intégral. Acta Math., Vol. 23, n. 20, pag. 251–259). Vedi anche la breve, ma interessante nota delLe Roux nel Bulletin diDarboux, 1895 (vol. 19, 2.a serie), pag. 122–8:Sur les intégrales analytiques de l'équation \(\frac{{\partial ^2 z}}{{\partial x^2 }} = \frac{{\partial z}}{{\partial y}}\).Google Scholar
  5. (**).
    Holmgren,Om Cauchys problem vid de lineära etc.… (Arkiv för Mathematik Astronomi och Fysik, 1906) ed anche la mia Nota:Sul problema di Cauchy (Rendiconti della R. Accademia dei Lincei, 1907, 2.o sem., serie 5.a, vol. XVI). E vedi anche « Lombardo II », § IV, n. 5.Google Scholar
  6. (*).
    E vonWeber nell'articoloPartielle Differentialgleichungen nell'Encyclopädie der Math. Wiss. [Bd. II. A 5, pag. 297, nota 1.a] osserva che dal punto di vista delle funzioni di variabili reali poche speciali classi di equazioni sono state studiate, ed in particolare manca una estensione del teorema di esistenza diCauchy-Lipschitz per le equazioni differenziali ordinarie. Una tale estensione non è sempre possibile: il problema si deve quindi porre nel ricercare quando essa è possibile. Del problema diCauchy dal punto di vista delle funzioni di variabili reali si è occupato assai il prof.Arzelà: ma con scopi del tutto diversi da quelli che io qui mi propongo: egli cercò di maggiormente limitare le condizioni per l'esistenza delle soluzioni delle equazioni di primo ordine per cui il problema diCauchy già risulta potersi risolvere dall'ordinaria teoria delle caratteristiche (o, con condizioni sovrabbondanti, dal teorema III enunciato più sopra a pag. 162). Potrei dire che le ricerche del prof.Arzelà hanno carattere intensivo: queste mie carattere estensivo.Google Scholar
  7. (*).
    Goursat, vol. II, cap. X, pag. 300.Google Scholar
  8. (*).
    Ricordo che le equazioni (9) si ottengono esprimendo che le (3) (4) (8) sono compatibili colle\(\frac{{\delta ^\alpha F}}{{\delta y^\alpha }} = 0\). Cfr.Goursat, vol. II, cap. X, pag. 300 e ss., e più diffusamente per le equazioni di 2.o ordine, vol. I, cap. IV, pag. 181–183.Google Scholar
  9. (*).
    Cfr. « Lombardo I » § III, n.o 4, pag. 427.Google Scholar
  10. (*).
    Cosi sei 1=|=i 2=|=0 coll'operazione\(X_2 X_1^{i_1 } X_2^{i_2 - 1} \ldots X_m^{i_m } \). Confronta riguardo quest'ultima affermazione « Lombardo I », § III, n.o 5, pag. 428.Google Scholar
  11. (*).
    In particolare: se τ12=…=τm=1 vi sonoh+1 operazioni indipendenti per ogni ordineh<n come è mostrato in « Lombardo II » § IV, n. 1: se, come sempre nel seguito, con τ indichiamo il massimo dei numeri τ1, τ2, … τm, vi sonoh+1 operazioni indipendenti di ordinehn − τ come fu enunciato in « Lombardo II » § IV, n. 5.Google Scholar

Copyright information

© Swets & Zeitlinger B.V. 1909

Authors and Affiliations

  • Eugenio Elia Levi
    • 1
  1. 1.Genova

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