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Literatur
Die Ausdehnungslehre von 1862 (Abs. I, Kap. III, N. 65) oppure: Ges. Werke, Bd. I, Th. II, p. 44. Perr=3,k=1 queste coordinate furono considerate diffusamente daPlücker nellaNeue Geometrie des Raumes (Leipzig, 1868–69). Di esse però egli aveva già fatto cenno, fin dal 1846, nellaGeometrie des Raumes.
Cfr. ad es.Bertini,Introduzione alla geometria proiettiva degli iperspazî, ecc. (Pisa, Spoerri, 1907); nn. 14–18, p. 32 e segg. La proporzionalità fra i minori delle due matrici, cui s'è alluso nel testo, fu dimostrata daClebsch,Ueber eine Fundamentalaufgabe der Invariantentheorie (Abhandlungen der k. Gesellschaft der Wissens. zu Göttingen, Bd. XVII, 1872), § 2, e indipendentemente, per via più elementare, daD'Ovidio,Ricerche sui sistemi indeterminati di equazioni lineari (Atti della R. Acc. delle Scienze di Torino, v. XII, 1877, pp. 334–49).
Loc. cit. Di esse fecero pur cennoGrassmann (Crelle's Journal, 1877–78) eClebsch, loc. cit., §§ 1 e 6. Ved. ad es.Bertini, op. cit., p. 38.
Però si deve avvertire che laV i non può mai — tranne il casor=3,k=1, in cuiV riducesi aduna quadrica delloS 5 — considerarsi come completa intersezione diρ -t forme diS ϱ , e tanto meno diρ -t forme quadratiche (ved. il n. 4, Oss.).
Ueber einen liniengeometrischen Satz (Götting. Nachr., 1872; Math. Annalen, Bd. XXII, 1883).
On algebraic hyperconical connexes in space of r dimensions (Atti della R. Acc. delle Scienze di Torino, v. XLVI, 1911, pp. 481–87).
L'ordine diV t , essendo uguale al numero degliS k che appoggiansi at S r-k-1 generici diS r (n. 2), è espresso da\(\frac{{1!2!...k!t!}}{{(r - k)!(r - k + 1)!...r!}}.\) Cfr.Schubert,Anzahl-Bestimmung für lineare Räume beliebiger Dimension (Acta mathematica, t. 8, 1886), p. 97. Vedi pure una Nota nelle Hamburger Mitth., 1, 1884, p. 87.
Cfr.Segre,Alcune considerazioni elementari sull'incidenza di rette e piani nello spazio a quattro dimensioni (Rendiconti del Circolo matematico di Palermo, t. II, 1888);Castelnuovo,Ricerche di geometria della retta nello spazio a quattro dimensioni (Atti del R. Istituto Veneto, (7), t. II, 1891; pp. 855–901);Scorza,Le varietà a curve sezioni ellittiche (Annali di Matematica, (3), t. XV, 1908, pp. 217–273), n. 61.
Cfr.Severi,Su alcune questioni di postulazione (Rendiconti del Circolo matematico di Palermo, t. XVII, 1903). Ivi veramente la cosa è provata per curve e superficie, ma l'estensione alle varietà superiori è immediata.
Se due varietàA, B, appartenenti aV t , staccano gruppi equivalenti sulle curve di un sistema Σ d'indiceν, leν A, ν B sono equivalenti o differiscono per varietà fondamentali di Σ. VediSeveri,Alcune relazioni di equivalenza tra gruppi di punti d'una curva algebrica o tra curve di una superficie (Atti del R. Istituto Veneto, t. LXX, 1911, pp. 373–382), n. 4. Per comodità del lettore, faccio qui il breve ragionamento che conviene al caso particolare del testo. Fissati tre iperpiani generici inS ϱ , mediante la terna dei punti da essi staccati sopra una rettau di Σ, resta su questa fissato razionalmente un sistema di coordinate proiettive. Sianoa 1,a 2, ...,a n le coordinate proiettive dei punti dia eb 1,b 2, ...,b n le coordinate proiettive dei punti dib. Allora la funzione\(\frac{{(x - a_1 )(x - a_2 )...(x - a_n )}}{{(x - b_1 )(x - b_2 )...(x - b_n )}}\), ovex è la coordinata proiettiva di un punto variabile soprau, al variare diu entro Σ, risulta funzione razionale del punto variabile sopraV t . Essa diviene infinita (di 1.o ordine) lungoB e nulla (di 1.o ordine) lungoA.
Cfr. pel concetto di base minima:Severi,La base minima pour la totalité des courbes tracées sur une surface algébrique (Annales de l'École Norm, de Paris, (3), t. XXV, 1908, pp. 449–468).
Cfr.Severi,Fondamenti per la geometria sulle varietà algebriche (Rendiconti del Circolo mat. di Palermo, t. XXVIII, 1909), n. 2.
Se p. es.w fosse un complesso lineare speciale (n. 2) di asseΩ, esso conterrebbe effettivamente varietà eccezionali del tipom. Una tal varietà sarebbe data ad es. dall'insieme degliS k appoggiati secondo rette ad un datoS r−k perΩ.
Così ad es. nel casoi=2 ci si trova a dover caratterizzare, in base alla disuguaglianza (k+1) (r−h)≤3, che è soddisfatta perk=2,h=r−1, oppurek=1,h=r−1, una forma diS r , contenente ∞3(r−3) piani od una forma contenente ∞2r−5 rette. Quanto alia prima, si vede subito, in modo analogo a quel che s'è fatto peri=1, ch'essa è costituita da un numero finito d'iperpiani; quanto alla seconda, si risponde mediante la proposizione seguente:Ogni forma irriducibile di S r ,contenente ∞2r−5 rette, o è una quadrica o un sistema ∞1 di S r−2 [Cfr.Severi,Intorno ai punti doppi improprî di una superficie generale, ecc. (Rend. del Circolo mat. di Palermo, t. XV, 1901), n. 10]. Veramente nella mia Nota citata, il teorema si trova perr=4; ma il ragionamento si estende subito.
Fondamenti per la geometria sulle varietà algebriche (citata), nn. 14 e 17.
Bertini, op. cit., p. 38.
Cfr.Severi,Su alcune questioni di postulazione (citata), §§ 2, 3. Ivi si tratta di forme aggiunte a curve e superficie; ma la trattazione si estende subito alle varietà superiori,
Loc. citato alla nota (*) pag. 105.
Cfr. la mia Memoria citata,Fondamenti per la geometria sulle varietà algebriche, n. 4.
Ibidem, n. 4 e nn. 30, 31.
Loc. cit. nella Prefazione.
Fondamenti (citata), nn. 32, 33, 34. Naturalmente l'affermazione del testo è subordinata alle stesse ipotesi fatte nel mio lavoro citato.
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Severi, F. Sulla varietà che rappresenta gli spazî subordinati di data dimensione, immersi in uno spazio lineare. Annali di Matematica, Serie III 24, 89–120 (1915). https://doi.org/10.1007/BF02419673
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