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Literatur
Cf.Euler,Methodus inveniendi lineas curvas, etc. (1744), p. 114–119 (für einen specielleren Fall);Lagrange,Oeuvres, X, p. 420–421.
Cf.A. Mayer,Begründung der Lagrange’schen Multiplicatorenmethode in der Variationsrechnung, Math. Annalen, Bd. 26, p. 74;A. Kneser,Lehrbuch der Variationsrechnung, 1900, p. 227 ff.;D. Hilbert,Zur Variationsrechnung, Göttinger Nachr., 1905, p. 159;H. Hahn,Über die Lagrange’sche Multiplicatorenmethode, Monatshefte für Math. u. Phys., Bd. 14, p. 325. M. vergl. auch die in derVariationsrechnung vonO. Bolza (deutsche Ausgabe, 1909, p. 566–569) gegebene Übersicht. Für den Specialfall der isoperimetrischen Probleme hat lange vor den erwähnten PublicationenWeierstrass einen strengen Beweis des Multiplicatorenverfahrens in seinen Vorlesungen vorgetragen (Vgl. auchP. du Bois-Reymond,Math. Annalen, Bd. 15, p. 311, wo sich derselbe Beweis findet). Durch diesen Beweis sind auch spätere Untersuchungen beeinflusst worden; m. vergl.L. Scheeffer,Math. Annalen, Bd. 25, p. 583 und die durch diese Arbeit beeinflusste oben schon erwähnte Abhandlung vonA. Mayer.
Oeuvres, I, p. 337 (aus denMiscellanea Taurinensia, t. II, 1760–1761).
Die angestellte Überlegung ist von den bekannten Beweisen desdu Bois-Reymond’schen Lemmas nicht wesentlich verschieden; vrgl.Math. Annalen, Bd. 15, p. 313 und p. 310.Du Bois-Reymond führt hier den Gedanken, eine Variation nur in zwei kleinen, beliebig gewählten Intervallen von Null verschieden zu setzen, aufR. Reiff zurück, der das entsprechende Verfahren auf ein Raumintegral angewendet hat (Über den Einfluss der Capillarkräfte auf die Form der Oberfläche einer bewegten Flüssigkeit; Dissertation, Tübingen, 1879, p. 8). Man hätte ein ähnliches Verfahren, wenn man bei derEuler’schen Behandlung der isoperimetrischen Probleme zwei beliebige Ordinaten des der Curve substituirten polygonalen Zuges variirte und die anderen ungeändert liesse, währendEuler zweibenachbarte Ordinaten variirt (Methodus inveniendi, etc., p. 176, p. 184 und Fig. 15 der zweiten Tafel). Man vergleiche ferner die auf demselben Gedanken beruhenden strengen Beweise des Lemmas beiBolza,Lectures on the Calculus of Variations, 1904, p. 22 und beiWhittemore,Annals of Mathematics (2), vol. 2, 1901, p. 132; die letzte Darstellung beruht auf einer vonHilbert 1899 gehaltenen Vorlesung.
Vrgl. die Figur beiP. du Bois-Reymond,Math. Annalen, Bd. 15, p. 301 und in der Darstellung vonHilbert’s Beweis desdu Bois-Reymond’schen Lemmas in der deutschen Ausgabe vonBolza’sVariationsrechnung, p. 28.
M. Vrgl. neben den schon genannten Arbeiten:H. Hahn,Math. Ann., Bd. 58, p. 148 ff und Bd. 63, p. 253 ff.
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Hölder, O. Neues Verfahren zur Herleitung der Differentialgleichung für das relative Extremum eines Integrals. Annali di Matematica, Serie III 20, 171–184 (1913). https://doi.org/10.1007/BF02419589
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