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Sur les éq uations indéterminéesxλ+yλ=c zλ

  • M. Edmond Maillet
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Literatur

  1. (*).
    C'est la suite de deux Notes antérieures parues, l'une dans lesMèm. de l'Assoc. franç. pour l'avanc. des sciences, Congrès de S.t Etienne, 1897, p. 156, l'autre dans lesActa Math., 1900, p. 247. Sa lecture exige au minimum la connaissance, par exemple, d'un Mémoire deKummer (J. de Math., 1851), de laZahlentheorie de Dirichlet et Dedekind (noa compris la fin de la théorie des idéaux), dedie Lehre von der Kreistheilung deBachmann, et, bien entendu, de mes deux Notes précités.Google Scholar
  2. (*).
    On trouvera un résumé plus détaillé des cas d'impossibilité dans mes communications du 8 Mai 1905 à l'Acad. des Sciences de Paris (Comptes rendus) et du 18 Mai 1905 à l'Académie des Sciences, Inscription et Belles-Lettres de Toulouse (Mémoires, 1905). Dans ce qui suit, j'appelle, d'aprèsKummer (J. de Math., 1851, t. 16) nombre premiernon exceptionnel (régulier dans la terminologie deM. Hilbert,Die Theorie der algebraischen Zahlkörper, Jahresbericht der Deutsch. Math. Vereinigung, 4.ème vol., 1894–1895, Berlin,G. Reimer, 1897, p. 429) tout nombre 1er λ ≥ 5 qui ne divise le numérateur d'aucun des λ − 3 / 2 premiers nombres deBernoulli. D'aprèsKummer, tout nombre premier ≥ 5 et ≤ 100 autre que 37, 59 ou 67 estnon exceptionnel.Google Scholar
  3. (**).
    Acta Math., 1900, p. 255, théorème III.Google Scholar
  4. (*).
    Dirichlet-Dedekind,Vorlesungen über Zahlentheorie, 3.ème édit., 2.te Abtheilung, Braunschweig (Brunswick), F. Vieweg, 1881, p. 342. Voir encoreDirichlet,Berlin. Abhandl., 1837, p. 45;Oeuvres, t. I, p. 313.Google Scholar
  5. (*).
    Serret,Algèbre supérieure, t. II, 5.ème édition, Paris, 1885, p. 85.Google Scholar
  6. (**).
    De la Vallée-Poussin,Anna. de la Soc. Scient. de Bruxelles, t. XX, 2.ème partie, 1896, p. 82 du Mémoire;Hadamard,Bull. Soc. Math., 1896, p. 217–219; ɛ, ɛ1 ont pour limites 0 quandN croît indéfiniment.Google Scholar
  7. (*).
    J. de Math., 1851, p. 487; à l'avant-dernière ligne de l'énoncé deKummer il faut lire « nombre non complexe » au lieu de « nombre complexe ». Quand λ=3, ɛ ≡k (mod 3) entraîne ɛ=± 1, comme on le vérifie de suite (voirBachmann,Die Lehre von der Kreistheilung, p. 186).Google Scholar
  8. (**).
    Loc. cit., p. 368.Google Scholar
  9. (***).
    Cette condition n'est pas indispensable.Google Scholar
  10. (*).
    Acta Math., loc. cit., p. 248 (cas oùi=1).Google Scholar
  11. (**).
    Kummer,J. de Math., 1851, p. 431 et suiv.Google Scholar
  12. (*).
    On voit en même temps que le théorème ci-dessus pouri=1 est un peu plus complet lorsquekλ+δ ≡ | ≡ 0 (mod λ), δ=1, que celui que j'avais énoncé antérieurement (Acta Math., loc. cit., p. 250). Le théorème ci-dessus reste vrai quandk λ+δ ≡ 0 (mod λi), à condition de supposerx, y, z premiers à λ.Google Scholar
  13. (*).
    J'ai déjà établi cette propriété pour le cas oùv=1,i=1,k λ+δ=1 (Acta Math., 1900, p. 256, théorème V). On remarquera que l'équationx 3+y 3=6z 3 admet, d'après leP. Pépin (loc. cit.) etE. Lucas (Nouv. Ann., 2.ème série, t. 17, 1878, p. 425), la solutionx=17,y=37,z=21.Google Scholar
  14. (*).
    J'ai déjà établi ce théorème quand μ est un nombre premier non exceptionnel >3 (Acta Math., 1900, p. 256, théorème V). L'équationx 2+y 2=2z 2 possède les solutions (x, y, z)=(1, 1, 1), (1, 7, 5), (7, 17, 13), ...Google Scholar
  15. (*).
    Le même raisonnement établit l'impossibilité de\(\begin{gathered} x_1^{2^n } + x_2^{2^n } + ...x_j^{2^n } = 2^m Bz^{2^n } , \hfill \\ n \eqslantgtr 2,m = k2^n + l,j< 2^l ,1< l< 2^n ,Bimpair. \hfill \\ \end{gathered}\) En effet, on peut toujours supposerz impair; six 1, ...,x j sont tous pairs, le mème raisonnement conduit à une équation analogue où un, par suite deux des nombresx 1, ...,x j sont impairs; alors le 1er membre est ≡ij (mod 2l) et le second ≡ 0; d'où l'on conclut l'impossibilité. Ainsi, quandn=2,m=4k+2 ou 4k+3,j=2 ou 3, on voit que les équations\(\begin{gathered} x^4 + y^4 = 2^m Bz^4 , \hfill \\ x_1^4 + x_2^4 + x_3^4 = 2^m Bz^4 , \hfill \\ \end{gathered}\) sont impossibles en nombres entiers réels=|=0. Application à titre d'exemple: il y a une infinité de nombres qui ne sont pas sommes de moins de 27=128 puissances 8.èmes=|=0 (comp. question 2724 de l'Intermédiaire des Mathématiciens, 1904, p. 33).Google Scholar
  16. (*).
    De même pourx a+y a=3a z a, (a>3);x 3+y 3=9z 3 au contraire a des solutions (p. 13).Google Scholar

Copyright information

© Swets & Zeitlinger B. V. 1906

Authors and Affiliations

  • M. Edmond Maillet
    • 1
  1. 1.Bourg-la-Reine

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