This is a preview of subscription content, log in via an institution to check access.
Literature
Sugli spazi pluritangenti delle varieta cubiche generali appartenenti allo spazio a quattro dimensioni (Giorn. di matem., vol. 31 (1893); p. 31–35).
Sulla Hessiana di una varietà nello spazio a quattro dimensioni (ibid., p. 210–17).
Cfr. ad es.,Salmon-Fiedler,Analytische Theorie der höheren ebenen Curven, p. 193–94; e:Analytische Geometrie des Raumes, II, p. 377–78.
Questa curva si rappresenta analiticamente scrivendo che il determinante Hessiano diV, che è simmetrico del 5.o ordine, ha la caratteristicatre; e di qui segue appunto la determinazione dell'ordine della curva stessa. Per la formola generale applicabile a questo caso v.C. Segre:Gli ordini delle varietà che annullano i determinanti dei vari gradi estratti da una matrice (Rend. Lincei (5), IX, 1900).
Enriques, l. c. p. 32.
Qualunque sistema lineare ∞4 di quadriche dello spazioS 4 (anche se non è precisamente il sistema delle quadriche polari rispetto a una varietà cubica) dà egualmente origine a un sistema ∞3 di rette « speciali », contenuto in ∞6 complessi cubici. Il sistema analogo (∞2) di rette nello spazio ordinario (di ordine 7 e classe 3) è stato studiato dal Sig.Reye (Geometrie der Lage, 3te Aufl., III, p. 140 e seg.), e fu incontrato anche da me in altre ricerche (Nuove ricerche sulle congruenze di rette del 3. o ordine prive di linea singolare, Mem. Acc. Torino, ser. II, t. L, 1901; § 14).
Salmon-Fiedler, op. cit.,; v. rispett. p. 196 e p. 378.
Questa proprietà è l'immediata estensione di quella che riguarda il comportamento delle rette contenute in una superficie cubica rispetto alla linea parabolica di questa superficie (Salmon-Fiedler, op. cit., p. 399).
Questo fatto è d'accordo con un'osservazione fatta dal Sig.Klein (Ueber Flächen 3 ter Ordnung, Math. Ann. VI, p. 566) che una superficie cubica diS 3 sulla quale due rette si facciano avvicinare indefinitamente acquista al limite, sopra queste rette, uno o due punti doppi, sccondo che tali rette al limite sono sghembe, oppure incidenti. Ora lo spazio tangente alla varietàV in un punto di una retta speciale tocca quella varietà anche in un secondo punto di questa retta, e incontra perciòV secondo una superficie con due punti doppi; mentre lo spazio tangente in un punto di una retta non speciale non può mai essere tangente aV in un secondo punto di questa stessa retta.
Questo sistema di rette è certo irriducibile: esso potrebbe spezzarsi in due o più altri (distinti) soltanto quando la varietà cubica su cui giace avesse qualche punto doppio. Per maggiori dettagli si veda la mia Nota:Sulle superficie algebriche ..., negli Atti della R. Acc. di Torino, vol. 39; 1904.
Poichè in una superficie di 3.o ordine priva di punti doppi le 27 rette sono sempre tutte distinte (Klein, Mem. cit.,Math. Ann., VI, p. 566).
I principali caratteri di questa superficie sono stati determinati da me in un altro lavoro (Sul sistema ∞2 di rette contenuto in una varietà cubica generale dello spazio a quattro dimensioni; Atti della R. Acc. di Torino, vol. 39.o; 1904).
Zeuthen:Nouvelle démonstration ... (Math. Ann. III, p. 150);Segre:Introduzione alla geometria sopra un ente algebrico semplicemente infinito (Ann. di Mat., ser. II, t. 22; n.o 40).
On the distribution of surfaces of the third order into Species ... (Phil. Trans. 1863, p. 193 e seg.). Le proprietà sopra enunciate si deducono tutte facilmente dall'esame dei diversi casi di superficie con punti doppi considerati nella Memoria diSchlaefli, oppure anche dalla rappresentazione piana di queste superficie ottenuta mediante proiezione dal primo punto doppio.
Segre, Mem. cit., n.o 43.
Enriques, Mem. cit., p. 34.
Enriques, Mem. cit, p. 33.
L'ordine = 900 di questa curva γ risulta confermato dall'osservazione seguente. Una sezione iperpiana generica della sviluppabile ∑90 sarà una curva dello spazioS 3 di ordine 90 e di genere 136, con 270 cuspidi (nelle intersezioni dello spazio segante collo spigolo di regresso σ270) e un punto doppio in ognuna delle intersezioni del medesimo spazio colla curva γ. D'altra parte la sviluppabile ∑90, come superficie contenuta in una varietà cubica priva di punti doppi, deve essere l'intersezione completa di questa varietà con un'altra varietà, di ordine 30 (cfr. la mia Nota:Sulle superficie algebriche contenute in una varietà cubica dello spazio a quattro dimensioni; Atti Acc. di Torino, vol. 39, 1904); e perciò ogni sua sezione iperpiana sarà intersezione completa di due superficie rispettivamente di 3o e di 30o ordine dello spazioS 3. Ora la curva intersezione generale di una superficie cubica con una superficie di ordinen è di genere 3 (2n) + 1, e ogni punto doppio o cuspide ne abbassa il genere di un'unità. Indicando dunque cond l' ordine della curva γ, dovrà essere: 136=3( 302 ) + 1 −d − 270 e di qui si ricava appuntod = 900. Quest'osservazione toglie anche ogni dubbio sulla possibilità che le varie intersezioni e i contatti considerati al n.o prec. possano eventualmente avere multiplicità superiori a quelle indicate.
C. Segre,Sulla scomposizione dei punti singolari delle superficie algebriche (Annali di Mat., ser. 2a, vol. 25; 1896; n.o 8).
Enriques, Mem. cit., p. 34–35.
Enriques, Mem. cit., p. 34–35.
C. Segre,Sulle varietà cubiche dello spazio a quattro dimensioni .... (Mem. Acc. di Torino, ser. II, vol. 39o, 1888; n.o 13).
Segre, Mem. cit., n.o 13.
Klein, Math. Ann. VI, p. 566.
Author information
Authors and Affiliations
Rights and permissions
About this article
Cite this article
Fano, G. Ricerche sulla varietà cubica generale dello spazio a quattro dimensioni e sopra i suoi spazi pluritangenti. Annali di Matematica, Serie III 10, 251–285 (1904). https://doi.org/10.1007/BF02419384
Published:
Issue Date:
DOI: https://doi.org/10.1007/BF02419384