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Una estensione del problema della proiettività a gruppi di complessi e di congruenze lineari di rette

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Annali di Matematica Pura ed Applicata (1898-1922)

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  1. Vegg.Reye,Die Geometrie der Lage. 3.a edizione, II Parte, pag. 328, e la mia Nota,Su i complessi di rette di secondo grado generati da due fasci proiettivi di complessi lineari. (Napoli, 1886.)

  2. Sa i complessi di rette di 2. o grado, ecc., Mem. cit. § 6.

  3. De Paolis,Fondamenti di una teoria dello spazio generato dai complessi lineari. Mem. Acc. Lincei, Serie 4a, Vol. I (1885), § IV, 22.

  4. Montesano,Su certi gruppi di superficie di secondo grado. Annali di Matematica, Serie II, tomo XIV.

  5. Noether,Zur Grundllegung der Theorie der algebraischen Raumcurven. Abhandlungen der k. Ak. der Wissenschaften zu Berlin, 1882, pag. 95,a 5).

  6. Le curve della congruenza non hanno altre quadriseganti, perchè il numero di tali rette per una curva gobba di 8o orJine e di genere 5 è appunto 10. (Berzolari,Su le sccanti multiple di una curva algebrica. Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, tomo IX, pag. 191.)

  7. Sturm,Ueber correlative oder reciproke Bündel. Math. Annalen. Bd. XII, § 38, teor. 2.o

  8. Sturm, Mem. cit., § 54, teor. 3.o

  9. Scubert,Abzählende Geometrie, pag. 206 (p 3 e 2 p ′2 Z ′6=4).

  10. Sturm. Loc. cit. § 51, 7.

  11. Cfr.Kohn:Ueber die Sextupel von geraden Linien, welche von sämmtlichen Punkten einer cubischen Fläche als sechs Tangenten eines Kegelschnitts geschen werden. Monatsh. f. Mathematik u. Physik. II Jahrg. 1891.

  12. Staudt:Geometrie der Lage, n.o 253.

  13. Di questa congruenza di coniche si fa cenno nel n. 5 della mia Memoria:Sa i varii tipi di congruenze lineari di coniche aello spazio. Rendiconti della R. Accademia delle Scienze di Napoli. Aprile 1895.

  14. Quattro qualunque delle rettek 1,...k 5 determinano con laq 6 due grappi, l’uno di punti, l’altro di piani, che non sono proiettivi fra loro, non essendovi alcuna retta infinitamente vieina allaq 6 che si appoggi alle 4 rettek. Come invarianti della superficie σ(3) potrebbero assumersi i rapporti anarmonici delle quaterne di puntiq 6(k 1 k 2 k 3 k 4),q 6(k 1 k 2 k 3 k 5) e delle quaterne di pianiq 6(k 1 k 2 k 3 k 4),q 6(k 1 k 2 k 3 k 5). Ciò appunto fa ilBobek nella sua Nota:Ueber die Invarianten der Flächen dritter Ordnung. Monatsh. f. Mathematik u. Physik. VIII Jahrg. 1897.

  15. Math. Annalen, Bd. XVIII, § 5.

  16. Esse furono assunte daDe Paolis come sestuple fondamentali di riferimento nello stabilire il sistema più generale di coordinate dei complessi lineari di rette. (Mem. cit., cap. XII.)

  17. Rosanes,Ueber linearabhängige Punktsysteme. Giornale di Crelle, vol. 88. 1880.

  18. Di questo teorema trovasi un cenno alquanto vago nella Memoria diKantor:Ueber die algemeinsten linearen Systeme linearer transformationen, § IV, 3a). (Denkschriften der Wiener Akademie, Bd. 46.)

  19. Vegg. fra gli altriSchubert,Abzählende Geometrie, pag. 95 (μ2 v6=8).

  20. Vegg.Cayley,Memoir on Quartic surfaces. Proc. Lond. Math. Soc. Vol. III;On a surface of the eight order. Math. Annalen. Bd. VI;Hierholzer,Ueber Kegelschnitte im Raume. Math. Annalen. Bd. II.

  21. Nella corrispondenza birazionale che l’involuzioneJ stabilisce fra un piano τ e la corrispondente superficie ϕ(7), alle sezioni piane della ϕ(7) corrispondono curve:c (7) ≡ 8D 2, 10Q, e ai singoli punti della curva doppiac (8) corrispondono coppie di punti di una curva:c (24) ≡ 8D 7, 10Q 4, di genere 25, situate su rette di un inviluppo di 8a classe, sezione del piano τ con l’inviluppoj (8); sichè il numero di tali coppie formate da punti coincidenti è 32. E facendo uso dellaformola di Zeuthen (Math. Annalen. Bd. III) per la corrispondenza (1, 2) che intercede fra lec (8),c (24), può riconoscersi che il genere dellac (8) è 5, ciò che per altra via abbiamo già stabilito.

  22. Salmon Fiedler,Analytische Geometrie des Raumes. II Theil, n.o 108. In generale se due superficie degli ordinin 1,n 2 si segano secondo due curve semplici degli ordini μ, μ′ aventi rispettivamenteh eh′ punti doppi apparenti, si ha che: 2(h−h′)=(μ−μ′)(n 2−1)(n 2−1); e sei è il numero dei punti comuni alle due curve, è: 2i=(μ+μ′)(n 1+n 2−1)−(μ2+μ′2)+2(h+h′).

  23. Se tutti i complessi dati sono singolari, cfr.Sturm, Mem. cit., § 54, 6).

  24. Cfr.Sturm, Mem. cit. § 65, 5 (ove bisogna leggere 8 invece di 6) eSchubert, Op. cit. pag. 207 (p 3 e 2 z 8=8).

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  1. Napoli

    Domenico Montesano

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  1. Domenico Montesano
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Montesano, D. Una estensione del problema della proiettività a gruppi di complessi e di congruenze lineari di rette. Annali di Matematica, Serie III 1, 313–357 (1898). https://doi.org/10.1007/BF02419195

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