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Acta Mathematica

, Volume 35, Issue 1, pp 357–398 | Cite as

Über den Zusammenhang zwischen den Summabilitätseigenschaften Dirichletscher Reihen und ihrem funktionentheoretischen Charakter

  • Walter Schnee
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Literatur

  1. 1.
    An Stelle von 1 könnte natürlich auch jede andere positive Konstante stehen.Google Scholar
  2. 2.
    Ein ausführlicher Beweis dieses Satzes findet sich z. B. in der Habilitationsschrift von HerrnBohr: «Bidrag til de Dirichletske R≸kkers Theori» (Kopenhagen 1910), S. 20.Google Scholar
  3. 3.
    «Beiträge zur analytischen Zahlentheorie», Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, Bd. 26, 2. Semester 1908 (S. 169–302), S. 252–255.Google Scholar
  4. 4.
    «Zum Konvergenzproblem der Dirichletschen Reihen», Mathematische Annalen, Bd. 66, 1909, S. 337–349. Ich behandle dort gleich den allgemeineren Reihentypus\(f\left( s \right) = \sum\limits_{n = 1}^\infty {a_n e^{ - \lambda _n s} ,} \) wo die λn eine beliebige Folge positiver, monoton ins Unendliche wachsender Zahlen sind, die gewissen Einschränkungen genügen. Um die Beweise nicht durch formale Schwierigkeiten zu verdunkeln, gehe ich in dieser Arbeit nicht auf die allgemeineren Reihen ein.Google Scholar
  5. 5.
    «Über das Konvergenzproblem der Dirichletschen Reihen», Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, Bd. 28, 1909, S. 113–151. Vergl. auch die ausführliche Darstellung in HerrnLandau's «Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen», Bd. II, S. 838–861.Google Scholar
  6. 6.
    Vergl. besonders die Arbeit vonHerrn Lindelöf: «Quelques remarques sur la croissance de la fonction ξ(s)» (Bulletin des Sciences mathématiques, Ser. 2, Bd. 32, Teil 1, 1908; S. 341–356) sowie die ausführliche Darstellung in dem soeben zitierten «Handbuch», Bd. II, S. 849–853.Google Scholar
  7. 7.
    «Über die Summabilität Dirichletscher Reihen», Nachrichten der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, mathematisch-physikalische Klasse, Jahrgang 1909, S. 247–262. Vergl. auch die zitierte Habilitationsschrift, S. 29–36.Google Scholar
  8. 8.
    «Sur les séries de Dirichlet», Comptes, rendus de l'Académie des Sciences, Paris, 21. Juni 1909, Bd. 148, S. 1658–1660.Google Scholar
  9. 9.
    HerrHölder hat einen ähnlichen Begriff durch fortgesetzte Mittelwertbildung:\(s'_n = \frac{{s_1 + s_2 + \cdots + s_n }}{n},s''_n = \frac{{s'_1 + s'_2 + \cdots + s'_n }}{n}, \ldots ,s_n^{\left( r \right)} = \frac{{s_1^{\left( {r - 1} \right)} + s_2^{\left( {r - 1} \right)} + \cdots + s_n^{\left( {r - 1} \right)} }}{n}\) eingeführt; in einer Arbeit in den Mathematischen Annalen («Die Identität des Cesàroschen und Hölderschen Grenzwertes», Bd. 67, 1909, S. 110–125) habe ich gezeigt, dass diese Begriffe identisch sind, d. h. dass für jede beliebige Grössenfolge αn und für jedesr die Grenzwerte\(\mathop {\lim }\limits_{x = \infty } s_x^{\left( r \right)} \) und\(\mathop {\lim }\limits_{x = \infty } \frac{{r\left| {s_x^{\left( r \right)} } \right.}}{{x^r }}\) entweder zugleich existieren und denselben Wert haben oder beide nicht existieren.Google Scholar
  10. 10.
    Natürlich kann die Dirichletsche Reihe auch überall konvergieren oder nirgends konvergieren; dann ist eben λ0=-∘ bezw. λ0=+∘.Google Scholar
  11. 11.
    Die erste Publikation geschieht in der Arbeit: «Sur la série de Dirichlet», Comptes rendus de l'Académie des Sciences, Paris, 11. Januar 1909, Bd. 148, S. 75–80.Google Scholar
  12. 13.
    Vergl. indessen den Schlussparagraphen 5.Google Scholar
  13. 14.
    Vergl. die in Anmerkung 7 zitierte Arbeit sowie die in Anmerkung 2 zitierte Habilitationsschrift.Google Scholar
  14. 15.
    «Über die Summabilitätsgrenzgerade der Dirichletschen Reihen», Sitzungsberichte der kaiserl. Akademie der Wissenschaften in Wien, mathem. naturw.-Klasse, Bd. 119, Abteil. II a, 1910, S. 1391–1397.Google Scholar
  15. 16.
    Es bleibt natürlich möglich, dass Zahlen der ersten Klasse nicht existieren, d. h. dass schon für ein endlichesr die Konstanteμ r=-∘ wird. Dies ist aber, wie man leicht sieht nur dann der Fall, wenn die Reihe in der ganzen Ebene konvergiert und also auch in der ganzen Ebene absolut konvergiert; dann haben alle Zahlen λr wieμ r r=o an den Wert −∞, so dass die ganze Summabilitätstheorie gegenstandslos wird. Es ergibt sich nämlich aus der Tatsache, dass dieμ r mit wachsendemr niemals zunehmen und aus den in der Folge zu entwickelnden Ungleichungenμ 0-μ 1μ 1-μ 2μ 2-μ 3 ≧...μ r-1μ r, das in Falleμ r=-∞ auchμ r-1=-∞ und schliesslichμ r-1=-∞ wird; hieraus aber folgt wegenμ 1=-∞ wird; hieraus aber folgt wegen λ1μ r weiter, dass auch λ1=-∞ wird, und wegen 0 ≦ λ01≦I, dass schon λ1=-∞ ist, womit die Konvergenz der Reihef(s) in der ganzen Ebene nachgewiesen ist. Ich bemerke ferner, dass die Bedingung (6)auf der Geraden σ=μr selbst nicht einmal für alle hinreichend grossen |t| erfüllt zu sein braucht, da ja z. B. auf dieser unendlich viele singuläre Punkte der Funktionf(s) liegen können, die sich im Unendlichen häufen.Google Scholar
  16. 17.
    Es ist ferner, wennl die Grenzabscisse der absoluten Konvergenz bezeichnet, auch I≧l0, wie man mit wenigen Zeilen beweisen kann, aber nicht etwa stetsl0≧λ01.Google Scholar
  17. 18.
    Vergl. indessen auch zu diesen Resultaten den § 5.Google Scholar
  18. 19.
    Ein ausführlicher Beweis dieser Formeln findet sich z. B. in HerrnLandau's «Handbuch» (vergl. Anmerkung 5), Bd. I, S. 342–346Google Scholar
  19. 20.
    Im Fallel≦ν ist nämlich der behauptete Satz trivial.Google Scholar
  20. 21.
    Es ist nämlich ν<λr-1l alsol−ν>0, da jal die Grenzabcisse der absoluten Konvergenz bezeichnet.Google Scholar
  21. 22.
    Ein ausführlicher Beweis findet sich in der in Anmerkung 2 zitierten Habilitationsschrift von HerrnBohr, S. 85.Google Scholar
  22. 23.
    Es darfk>0 angenommen werden, da ja der Fallk=0 bereits mit III erledigt ist. Aber natürlich würde man fürk=0 durch eine ganz analoge Abschätzung ebenfallsI s=h 1(x) erhalten.Google Scholar
  23. 24.
    Vergl. z. B. HerrnBohr's Habilitationsschrift, S. 71.Google Scholar
  24. 25.
    Diese Art der Darstellung derr. Differenz, die man leicht auf allgemeinere Funktionenf(n) anstatt 1/ns ausdehnen kann, kommt schon bei HerrnJensen vor und wird auch in der soeben zitierten Schrift von Herrnbohr benutzt; vergl. S. 70.Google Scholar
  25. 26.
    Vergleiche z. B. meine Habilitationsschrift: «Über Mittelwertsformeln in der Theorie der Dirichletschen Reihen», Sitzungsberichte der kaiserl. Akademie der Wissenschaften in Wien, mathem.-naturw. Klasse, Bd. 118, Abt. II a, 1909 (S. 1439–1522), S. 1462.Google Scholar
  26. 27.
    «Une méthode de sommation équivalente à la méthode des moyennes arithmétiques», Comptes rendus de l'Académie des Sciences, Paris, 12. Juni 1911, Bd. 152, S. 1651–1654Google Scholar
  27. 28.
    Nach geeigneter Definition derS x(r) für nicht ganzzahligerr≧0 gilt dieser Satz, wie Herr M.Riesz zeigt, bei beliebigemr≧0.Google Scholar
  28. 29.
    Die Verschärfung gegen den Satz III besteht, wie in der Einleitung bemerkt, eben darin, dass durch diesen Wortlaut zugleich die Möglichkeit, dass unter den gegebenen Voraussetzungen ν<λr-1-I sein könnte, ausgeschlossen wird; der Satz III′ ist also dem in Anm. 12 zitierten, von Herrn M.Riesz ohne Beweis mitgeteilten Satz völlig äquivalent, wenn man bei ganzzahligemr verbleibt.Google Scholar
  29. 30.
    Natürlich haben die in beiden Formeln auftretenden konstanten Koeffizientend nichts mit einander zu tun.Google Scholar

Copyright information

© Beijers Bokförlagsaktiebolag 1912

Authors and Affiliations

  • Walter Schnee
    • 1
  1. 1.Breslau

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