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Literatur
Über Bezeichnungen sowie Beweise des Bekannten und historische Angaben vergl. meinHandbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen [Leipzig und Berlin (Teubner), 1909].
2 im Literaturverzeichnis des Handbuchs. Vergl. z. B. Handbuch, S. 365.
Contribution à la théorie des nombres premiers [Acta Mathematica, Bd. XXXIII (1910), S. 293–320]. Diese vom 31. 8. 1908 datierte Arbeit wurde, wie auf den Bogen vermerkt ist, am 9. 11. 1909 gedruckt, und mein Buch konnte daher keinen Einfluss mehr ausüben. In diesem Buch (S. 364–368) habe ich u. a. zum ersten Mal bewiesen, dass die Reihe (2) in jedem von denp m freien Intervallx 0≦x≦x1, wox 0>1 ist, gleichmässig konvergiert.
Dies ist ein Analogon zu der Tatsache, dass in Herrnde la Vallée Poussin's berühmten Primzahlarbeiten statt der schwer zu behandelnden Reihe (2) die absolut konvergente Reihe\(\mathop \sum \limits_\varrho \frac{{x\varrho }}{{\rho \left( {\rho - 1} \right)}}\) eine ausschlaggebende Rolle spielt.
Wenn auch dies das Hauptergebnis seiner interessanten Arbeit ist, so möchte ich doch nicht unerwähnt lassen, dass er mit denselben Methoden auch andere ältere und neue Resultate beweist, von denen in meiner vorliegenden Abhandlung nicht die Rede ist.
Es sei hierbei erwähnt, dass Herrvon Koch bei der Herleitung von (3) ganz am Schluss ein Versehen macht, welches sich, wie er mir auf meine Anfrage hin freundlichst mitteilt, durch etwas veränderte Fassung der früheren Rechnungen beseitigen lässt. Herrvon Koch hatte nämlich (3) zunächst (S. 319) nur bei wachsendemx der Form «ganze Zahl+1/2» bewiesen. Um dies Ergebnis auf stetig wachsendesx auszudehnen, weist er darauf hin, dass der Sprung von ϕ(x) bei den Unstetigkeitsstellenx nurO(logx) ist; daraus allein folgt es aber nicht, da auch die Änderung der rechten Seite beim Übergang vonx zu [x]+1/2 diskutiert werden müsste. Diese Diskussion würde allerdings im Falle 0<μ≦1/2 (nicht aber im Falle 1/2<μ<1) leicht zu dem Ergebnis führen, dass der Fehler gegen das SchlussgliedO(x 1−μ log2 x) vernachlässigt werden kann. Herrvon Koch hat mir nun freundlichst mitgeteilt, dass man durch folgende kleine Modifikation seines Weges für alle erforderliche μ (d. h. für 0<μ<1) sofort zu (3) bei stetig wachsendenx gelangt «Man füge den Formeln (36), (37) und (41) rechts das GliedO(logx) hinzu; dann ist aus der Definition (1) auf S. 296 und der in No 8 (S. 315–320) angewandten Methode ersichtlich, dass diese drei Formeln für stetig wachsendesx giltig bleiben». Der Leser meiner vorliegenden Abhandlung braucht die Arbeit von Herrnvon Koch übrigens nicht zu kennen.
Vergl. z. B. S. 388 des Handbuchs.
6.
Natürlich ist der Hilfssatz 2 nicht neu. Auch der obige Beweis ist nichts als genau die Anwendung desCauchy'schen Satzes, welche HerrnSchnee zu einem weitergehenden Hilfssatz auf S. 12–13 seiner Abhandlung geführt hat:Über die Koeffizientendarstellungsformel in der Theorie der Dirichletschen Reihen [Nachrichten der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, mathematisch-physikalische Klasse, Jahrgang 1910, S 1–42]. Mir genügt der obige Wortlaut, und ich habe kein Interesse daran, die absolute Konstante rechts möglichst klein herauszubekommen.
Aus der vorangegangenen Voraussetzung (9) folgt nur die Beschränktheit von\(\left( {\eta - I} \right)^2 \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{\left| {a_n } \right|}}{{n^\eta }}} \).
c 1 darf also nur von dena n abhängen. Dasselbe gilt in der Folge vonc 2,c 3, ...
Übrigens ist bekanntlich 0<α<1.
Vergl. z. B. Handbuch, S. 316.
Die Formel (14) ergibt sich nämlich sofort durch Anwendung desCauchy'schen Satzes auf das Rechteck mit den Ecken η±Ti,z±Ti, woz eine negative ungerade Zahl ist, und Grenzübergangz=−∞ auf Grund des Hilfssatzes der S. 336. Dies ist in dem auf S. 349–351 Durchgeführten als Spezialfallr=0 enthalten; denn, das die ZahlT gerade eine der dort mitT g bezeichneten Zahlen ist, war bis zu jener Stelle noch nicht benutzt.
Vergl. z. B. Handbuch, S. 336. Jetzt bezeichnen im TextC 1,C 2 ... absolute Konstanten.
In der Tat nimmt füry≧e die Funktion\(\frac{{\log y}}{y}\) mit wachsendemy ab, und für σ≦−1,t≧e ist |s|>t≧e; für σ≦−1, 2≦t<e ist\(\frac{{\log \left| s \right|}}{{\left| s \right|}}\) und 1:\(\frac{{\log t}}{t}\) beschränkt.
Vergl. z. B. Handbuch, S. 339.
Vergl. z. B. Handbuch, S. 337.
Vergl. z. B. Handbuch, S. 334.
Der Hilfssatz 3 ist anwendbar, weil |a n|≦logn und\(\mathop {\lim }\limits_{\eta = 1} \left( {\eta - I} \right)\sum\limits_{p,m} {\frac{{\log p}}{{p^{mn} }}} = I\) ist.
Ich beweise dies wörtlich so, wie man die in § 2 benutzte Relation\(\left| {\frac{{\zeta '\left( s \right)}}{{\zeta \left( s \right)}}} \right|< C_1 \log \left| s \right|\) für σ≦−I,t≧2 zu beweisen pflegt.
Vergl. z. B. Handbuch, S. 336.
Vergl. z. B. Handbuch, S. 334.
Es wäre leicht, einq numerisch anzugeben; doch brauche ich dies für meine Zwecke nicht.
In der Tat nimmt\(\frac{{\log y}}{{y^v }}\) vony=e 1/v an ab; für σ≦−I,\(T \geqq e^{\tfrac{1}{v}} \) ist daher wegen |s|>T \(\frac{{\log \left| s \right|}}{{\left| s \right|^v }}< \frac{{\log T}}{{T^v }},\) und für σ≦−I, 2≦T<e 1/v ist\(\frac{{\log \left| s \right|}}{{\left| s \right|^v }}\) und I:\(\frac{{\log T}}{{T^v }}\) beschränkt.
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Landau, E. Über einige Summen, die von den Nullstellen der Riemann'schen Zetafunktion abhängen. Acta Math. 35, 271–294 (1912). https://doi.org/10.1007/BF02418819
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DOI: https://doi.org/10.1007/BF02418819