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Sur la représentation analytique des fonctions définies par des séries de Dirichlet

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Acta Mathematica

An Erratum to this article was published on 01 December 1912

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  1. Ce fait a été déjà signalé (à un autre point de vue), parM. Bohr qui appliquait les moyennes arithmétiques entre autres à la série (3).

  2. En vertu d'un théorème deM. Borel, généralisé parM. Phragmén, l'étoile principale n'est pas nécessairement le domaine total de convergence de l'expressionlimite (9).

  3. La marche de notre démonstration va montrer qu'on peut aussi admettre certains domaines infinis.

  4. En effet, si l'on écrit (22) sous la forme Σa n e−λ n 8, les points8 qui correspondent aux pointsx u, sont tous situés dans une demi-bande (de largeur (1+ε)π≦2π).

  5. Cette inégalité montre qu'on peut choisir la courbeH (a) de plus en plus aplatie et la faire tendre vers le segment (0,x) lorsquea tend vers zéro.

  6. Borel: Leçons sur les séries divergentes, Paris, 1901 (pp. 138–141).

  7. Pendant l'impression de cette lettre,M. Mittag-Leffler m'apprit que la démonstration qui suit, est essentiellement la même que celle qu'il avait donnée pour les séries entières, dans ses cours de 1905–06. Il avait aussi montré que le théorème reste valable en tout sommet ξ de l'étoile pour lequel il existe un angle de sommet ξ, renfermant le vecteur (0, ξ) où la fonction est continue. Le lecteur verra sans difficulté que cette extension subsiste aussi dans notre cas général. (M. R.)

  8. M. Riesz: Sur un problème d'Abel. (Extrait d'une lettre àM. Mittag-Leffler, 24 mai 1910) Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo. T. XXX. 1910 (Séance de 10 juillet 1910).

  9. Ce résultat a été aussi trouvé parM. Dienes qui l'avait publié avec d'autres résultats concernant les moyennes arithmétiques de vos séries de polynomes, ces autres résultats étant aussi des conséquences immédiates de vos théorèmes et de ceux deM. Fejér. (Comptes rendus, 25 juillet 1910). Je dois observer que le raisonnement de ma lettre insérée aux Rendiconti fait voir que dans les énoncés deM. Dienes, l'introduction des moyennes arithmétiques pourrait être évitée.

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  1. Stockholm

    Marcel Riesz

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  1. Marcel Riesz
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An erratum to this article is available at http://dx.doi.org/10.1007/BF02418822.

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Riesz, M. Sur la représentation analytique des fonctions définies par des séries de Dirichlet. Acta Math. 35, 253–270 (1912). https://doi.org/10.1007/BF02418818

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  • DOI: https://doi.org/10.1007/BF02418818

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