Acta Mathematica

, Volume 23, Issue 1, pp 203–331 | Cite as

Sur une question fondamentale du calcul integral

  • Ch. Riquier
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References

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    Voici quelle est cette restriction:En désignant par u et v deux fonctions inconnues quelconques, aucune dérivée de v ne figure dans les seconds membres des équations de la colonne (u), si quelque variable principale de v est paramétrique pour u (Ibid., Journal de Mathématiques pures et appliquées, 3ième série, t. 6, 1880, p. 238).Google Scholar
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  26. 2.
    J’insiste sur ce point, qui semble n’avoir pas été très-bien compris de quelques lecteurs: par le seul fait de la réduction à une forme passivedu premier ordre où la convergence des développements des intégrales était assurée, la solution générale d’un système donné devait, comme je viens de l’expliquer, dépendre finalement de fonctions arbitraires en nombre fini, et ces fonctions se dégager d’elles-mêmes, saus que j’eusse besoin de m’en inquiéter autrement; mais il n’en eût pas été de même, si la forme à laquelle j’aboutissais en dernier leiu eût été d’ordre supéricur au premier. Ainsi. au début d’un Mémoire publié en 1894,M. Tresse a formulé l’énoncé suivant:Etant donné un système quelconque d’équations aux dérivées partielles, on peut, après un nombre limité de différentiations et d’éliminations, ou bien montrer qu’il est incompatible, ou bien le mettre sous forme d’un système en involution (système passif)dont la solution générale dépend alors, suivant les cas, de fonctions ou de constantes arbitraires (Acta mathematica, 1894, p. 9). Or, en supposant établie la convergence des développements des intégrales (partie de la question queM. Tresse ne se proposait pas d’examiner), il ressort uniquement de sa démonstration que, pour déterminer un groupe d’intégrales ordinaires de ce système en involution,dont l’ordre est quelconque, on peut se donner arbitrairement certaines portions de leurs développements respectifs, c’est-à-dire certaines constantes, en nombre le plus souvent infini, et qui, dans le cas général, ne se grouperont pasd’ellesmêmes en un nombre fini de fonctions. J’ajoute queM. Tresse me semble avoir laissé dans l’ombre certains points importants, et n’avoir pas montré, par exemple, comment on peut,à l’aide d’un nombre limité d’opérations, s’assurer si les conditions d’intégrabilité d’un système donné se trouvent ou non satisfaites.Google Scholar
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    Extension du théorème de Cauchy aux systèmes les plus généraux d’équations aux dérivées partielles (Annales de l’Ecole normale, 1896).Google Scholar
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    C’est à dire remplissant la double condition: 1° de la passivité; 2° de la convergence des développements des intégrales.Google Scholar
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    Voir les Comptes Rendus de l’Académie des Sciences, 27 décembre 1897.Google Scholar
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    Voir les Comptes Rendus de l’Académie des Sciences, 13 décembre 1897.Google Scholar
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    Je tiens à faire observer dès maintenant que le motorthonome, tel qu’il se trouve défini dans le présent Mémoire, possède une signification plus large que dans mes travaux antérieurs. Consulter à ce sujet l’Appendice qui fait suite au Mémoire.Google Scholar
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    J’ai établi cette proposition en 1893 pour des systèmes différentiels de forme un peu moins générale. Voir les Annales de l’Ecole Normale, 1893, p. 76 à 86.Google Scholar
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    Il va sans dire que les seconds membres sont supposés tous développables dans un même domaine.Google Scholar
  37. 1.
    Les alinéas V, VI, VII, VIII et IX du no 31 (infrà) sont, comme je le répète plus loin (31), identiques aux alinéas correspondants du présent numéro 22, à part quelques modifications que je vais indiquer au fur et à mesure.Google Scholar
  38. 1.
    Cette proposition et la démonstration qui suit ont été publiées, en juin 1893’ dans les Annales de l’Ecole Normale (p. 151 et suiv.): on trouvera toutefois, dans la rédaction actuelle, quelques légères améliorations.Google Scholar
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    Voir les Annales de l’Ecole Normale, juin 1893, p. 178, 179 et 180.Google Scholar
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    Voir la note de la page 264.Google Scholar
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    Il va sans dire que les seconds membres sont supposés tous développables dans un même domaine.Google Scholar

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Authors and Affiliations

  • Ch. Riquier
    • 1
  1. 1.Caen

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