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Literatur
Öfversigt af Kongl. Vetenskaps-Akademiens Förhandlingar, Stockholm, Bd. 49, 1892, S. 199–206.
Mit einer häufig angewendeten Abkürzung lässt sich die obige Annahme schreibenf(t) =ct +O(t r).
Recherches sur diverses applications de l’analyse infinitésimale à la théorie des nombres, Journal für die reine und angewandte Mathematik, Bd. 19, 1839, S. 326–328; Werke, Bd. 1, 1889, S. 415–417.
Dieser Werth 1—γ lässt sich nicht mehr vergrössern, wie das einfache Beispiel\(l_n = n, c_n = I + \frac{I}{{n^{1 - \gamma } }}(o< \gamma< I)\) zeigt.Hier ist\(f(t) = \sum\limits_{n = 1}^t {\left( {I + \frac{I}{{n^{1 - \gamma } }}} \right) = t + O(t^\gamma )}\) andererseits ist der Convergenzradius der Potenzreihe (1) genau 1 — γ, da ρ=γ-1 eine singuläre Stelle der fürR(ρ)>o durch die Dirichlet’sche Reihe\(\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{I + \frac{I}{{n^{1 - \gamma } }}}}{{n^{1 + \rho } }}}\) definierten Function ϕ(ρ)=ζ(1+ρ)+ζ(2-γ+ρ) ist, also auch von\(\varphi (\rho ) - \frac{I}{\rho }\).
In dem Spezialfallel n =n habe ich diesen Satz schon auf S. 77–79 der Arbeit bewiesen:Über die zu einem algebraischen Zahlkörper gehörige Zetafunction und die Ausdehnung der Tschebyschefschen Primzahlentheorie auf das Problem der Verteilung der Primideale, Journal für die reine und angewandte Mathematik, Bd. 125, 1903.
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Landau, E. Über einen Satz von Herrn Phragmén. Acta Math. 30, 195–201 (1906). https://doi.org/10.1007/BF02418572
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DOI: https://doi.org/10.1007/BF02418572