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References
Vgl.Wiltheiss,Über die partiellen Differentialgleichungen zwischen den Ableitungen der hyperelliptischen Thetafunktionen. Crelles Journal Bd. 99. FernerBolza,On the Logarithmic Derivatives of Hyperelliptic σ-Functions. American Journal of Mathematics Bd. 17. Letztere Abhandlung erschien nach Vollendung vorliegender Arbeit.
Wiltheiss, a. a. O.,Über die partiellen Differentialgleichungen zwischen den Ableitungen der hyperelliptischen Thetafunktionen. Crelles Journal Bd. 99, S. 245.
Prym,Zur Theorie der Funktionen in einer zweiblättrigen Fläche. 1866.
Natürlich sind die Verzweigungspunkte in der Figur nur der Übersichtlichkeit wegen in grader Linie angenommen. Die Schnittec 1,…,cp−1, die uötig sind, um die Fläche vollends einfach zusammenhängend zu machen, sind weggelassen, da sie bekanntlich für die Theorie der Integrale irrelevant sind.
Woi nicht Index ist, bedeutet es stets\(\sqrt { - I} \).
Wiltheiss, Crelles Journal, Bd. 99, S. 246.
HerrChristoffel gebraucht in gleicher Bedeutung das Symbol (n/l). (Crelles Journal Bd. 68, p. 254.)
Wiltheiss,Partielle Differentialgleichungen der hyperelliptischen Thetafunktionen. Math. Ann. Bd. 31, S. 140 f.
Dies Integral ist ein bekannter Spezialfall der von HerrnChristoffel in die Lehre von den Abel'schen Integralen eingeführten FunktionR. (Annali di Mat, t. 10, p. 97.) Es ist identisch mit dem Integral ∫H(x′ y′, xy) dx von HerrnWeierstrass.
Eine Herleitung dieser Eigenschaften auf ganz anderem Wege findet sich schon in der Dissertation vonPauls,Über die Beziehung des Riemann'schen Integrals 2. Gattung zu den Periodicitätsmoduln der Funktion R(O|ε). Strassburg 1882. Die Funktionen\(\mathfrak{A}_\mu \left( O \right)\) und\(\mathfrak{B}_\mu \left( O \right)\) von HerrnPauls sind ideutisch mit unseren —A μ(x), —B μ(x).
Vgl. hierzu die ganz analoge Untersuchung beiKrazer undPrym,Neue Grundlagen einer Theorie der allgemeinen Thetafunktionen. S. 63 f.
Vgl.Fuchs, Crelles Journ. Bd. 71, S. 128 ff.Königsberger,Vorlesungen über die Theorie der hyperelliptischen Integrale, S. 70–78.Winckler, Wiener Sitzungsber. Bd. 62, S. 115.
Clebsch-Gordan,Theorie der Abel'schen Funktionen. S. 119.
Thomae, Crelles Journ. Bd. 71, S. 212. Vgl. auchSchröder,Über den Zusammenhang der hyperelliptischen σ- und ϑ-funktionen, Diss. Göttingen 1890, S. 35. Die Formel ergibt sich übrigens sofort durch Ausführung des über die Querschnitte erstreckten Integrals\(\int\limits_T {\frac{{\partial u_\mu }}{{\partial e_i }}du_\lambda = \int\limits_T {\frac{{\partial u_\mu }}{{\partial e_i }}\frac{{\Phi \lambda \left( z \right)}}{s}} dz} \).
Thomae, Crelles Journ. Bd. 71, ferner Bd. 93, 94, 101 über Integrale zweiter Gattung.
Aus dieser Gleichung in Verbindung mit (8) und (10) in § 3 erhält man leicht die Gleichungen\(\sum\limits_i {\frac{{\partial \Delta }}{{\partial e_i }} = ound} \sum\limits_i {e_i } \frac{{\partial \Delta }}{{\partial e_i }} = - \frac{{p\left( {p + 1} \right)}}{2}\Delta .\) (Vgl.Wiltheiss, Math. Ann. Bd. 31, S. 142.)
Dieser Satz folgt sofort aus (9a) in § 6, wenn wir bedenken, dass für jede derartige Funktion\(\sum\limits_i {\frac{{\Phi _\lambda \left( {e_i } \right)\psi \left( {e_i } \right)}}{{f'\left( {e_i } \right)}}} = O\) ist. Diese Identität ergibt beiläufig für die Periodicitätsmodulna μv gemäss (7) im vorigen Paragraphen die Differentialgleichunggen:\(\sum\limits_i {\frac{{\partial a_{\mu \nu } }}{{\partial e_i }} = O,} \sum\limits_i {e_i \frac{{\partial a_{\mu \nu } }}{{\partial e_i }} = O,} \sum\limits_i {e_i \frac{{\partial a_{\mu \nu } }}{{\partial e_i }} = O.} \) (μ,v=1,2,, …,p)
vgl.Klein, Math. Ann. Bd. 32.
Zum ersten Male treten diese Zahlen wohl in der Abhandlung von HerrnPrym,Zur Theorie der Funktionen der zweiblättrigen Fläche, 1866 (S. 35 Charakteristik (x)) auf, ohne freilich ausdrücklich genannt und bezeichnet zu werden, doch haben sie dort wegen des anderen Querschnittsystems entsprechend andere Werte.
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Epstein, P. Zur Lehre von den hyperelliptischen Integralen. Acta Math. 20, 1 (1897). https://doi.org/10.1007/BF02418027
DOI: https://doi.org/10.1007/BF02418027