Acta Mathematica

, Volume 8, Issue 1, pp 360–386 | Cite as

Les lieux fondamentaux des fonctions inverses des intégrales abéliennes et en particulier des fonctions inverses des intégrales elliptiques de 2me et 3me espèce

Deuxième mémoire
  • F. Casorati
Article

Preview

Unable to display preview. Download preview PDF.

Unable to display preview. Download preview PDF.

References

  1. 1.
    Ces fonctions peuvent être aussi caractérisées en disant, que, chacune d'elles (que je désignerai toujours ici parZ, en désignant parz la variable indépendante) est une intégrale d'une équation différentielle de la forme\(F\left( {\frac{{dZ}}{{dz}},Z} \right) = o,\)F signifie une fonction rationnelle et entière, à coefficients constants, deZ et de sa dérivée. En appliquant ici la notion de lieu fondamental exclusivement à cette classe de fonctions, nous remarquerons qu'elle est utilement applicable dans une plus grande étendue.Google Scholar
  2. 1.
    Qui voudront bien nous pardonner s'ils ne trouveront pas toute remarque à la place qui lui serait la plus propre, et s'ils rencontreront quelques répétitions, qui dans une redaction plus soignée auraient pu être évitées.Google Scholar
  3. 2.
    Si ces conclusions avaient été vraies, la plupart des équations différentielles n'auraient pas admis, comme intégrales, des fonctions analytiques de la variable complexe indépendante; et par conséquent, l'introduction des fonctions d'une variable complexe dans l'Analyse, qui a paru si féconde, aurait perdu presque toute son opportunité.Google Scholar
  4. 1.
    Nous recommandons au lecteur de concevoir le plan (lorsqu'on l'emploie, dans l'étude des fonctions d'une variable complexe, comme lieu représentatif des valeurs de cette variable) comme une surface fermée à l'infini, de manière à ne voir à l'infini qu'un point. Ce point représentela valeur de la variable que l'on ditinfinie et que l'on désigne par le symbole ∞. Cette valeur est caractérisée par la valeur infinie du module, quel que soit l'argument; de même que la valeur 0 est caractérisée, n'importe l'argument, par la valeur zéro du module. On peut se figurer au lieu du plan une sphère finie, comme lieu représentatif des valeurs de la variable; se réservant de se figurer de nouveau le plan chaque fois que cela convient pour mieux concevoir les valeurs ou les chemins de la variable (voir les §§ 14 et 19 de notreTeorica delle funzioni di variabili complesse).Google Scholar
  5. 2.
    Il faut se rappeler un théorème deCauchy, ou, en d'autres termes, il faut se rappeler, que, autour d'un couple (z 1,Z 1) de valeurs finies dez etZ, il ne peut y avoir de ramification dans la surface représentative, soit-elle étendue sur le planz ou sur le planZ, à moins que les différencesz−z 1,Z−Z 1 ne soient infiniment petites du même ordre, c'est-à-dire, que si la dérivée d'une variable par rapport à l'autre est nulle ou infinie. Car, la dérivée n'étant ni nulle ni infinie, àun tour dez autour dez 1 sur le planz il correspond aussiun tour deZ autour deZ 1 sur le planZ. En d'autres termes, en tournant autour du point (z 1,Z 1) de la surface représentative, étendue sur l'un ou l'autre plan, on revient au point-couple de départ après l'accroissement 2π de l'angle du rayon tournant.Google Scholar
  6. 1.
    En posantZ=Re , d'oùdZ=Re idΩ, on suivra très-aisément les variations simultanées des parties, réelle et imaginaire, dez le long de ce cheminAHB.Google Scholar
  7. 1.
    Nous dirous ailleurs de la meilleure manière de réaliser cette monodromie en vue de la théorie de la fonction inverse de l'intégrale.Google Scholar
  8. 1.
    Si, pour former la surface monodromique, on coupait le plan en suivant des lignes qui, en partant d'un point oùz n'est pas infinie (et où je désignerai parQ la valeur deZ), vont respectivement, sans se rencontrer, aux divers points d'infini logarithmique; le lieu fondamental aurait autant de bandes qu'il y a de ces points, et chacune de ces bandes s'étendrait sur le planz, non plus de l'infini à l'infini, mais du fini à l'infini. Figurons-nous sur le planz le polygone dont les sommets sont les valeurs dez correspondant à la valeurQ deZ; cette valeur se trouvant en autant de points du contour de la surface monodromique qu'on a tiré de lignes de coupure. Les côtés de ce polygone représentent respectivement les résultats de l'intégration de la différentielleR(Z)dZ autour de chaque point d'infini. La somme de ces résultats étant toujours zéro (il faut compter aussi, lorsqu'il existe, l'infini au point oùZ=∞), le polygone est fermé. Maintenant, imprimons à chaque côté un mouvement detranslation, par lequel le côté, en commençant à glisser vers l'intérieur, va à l'infini dans une direction finale égale à celle de la normale intérieure au côté même (du polygone). Chaque côté engendrera précisément une bande du lieu fondamental, si les mouvements de translation sont réglés de manière que les extremités de chaque côté décrivent les transformées des bords de la coupure aboutissant à l'infini correspondant. Il est à propos de rappeler ici que la nature géométrique de chaque ligne de coupure est arbitraire. L'élément essentiel d'une bande logarithmique est ladifférence de position des côtés congruents, c'est-à-dire lapériode; d'où dépend aussi, comme on l'a dit, la direction de la bande à l'infini.Google Scholar
  9. 1.
    Je dis ici que deux valeurs sontcontraires entre elles lorsque leur somme est nulle.Google Scholar
  10. 1.
    Car la valeur de cette intégrale prise tout le long du contour d'une portion quelconque de cette surface est zéro.Google Scholar
  11. 1.
    Nous tenons à répéter que para, a′, A, B, C, D on doit entendre, non pas les points dans les positions marquées dans la fig.7, mais les points dans les positions finale..Google Scholar
  12. 2.
    D'après les notations deJacobi ces intégrales seraient désignées par2K, 2K′. On verra dans la suite pourquoi nous n'adoptons pas ces notations en ce moment.Google Scholar
  13. 1.
    z 1 etZ 1 étant supposées un couple de valeurs finies correspondantes dez etZ. Quant aux valeurs infinies, il n'y en a qu'un couple, qui dans la surface monodromique est représenté par un point de ramification. Mais on voit facilement que ce point n'est plus de ramification dans le lieu fondamental.Google Scholar
  14. 2.
    On verra dans la suite comment on pourra faire trois tours, pendant que notre lieu fondamental, isolément consideré, n'a que deux couches. On éviterait cette complication et l'on trouveraitdeux points de ramificationsimples, au lieu d'unpoint double, en prenant la différenticlle de seconde espèce sous une forme plus générale. Si l'on ne réduisait pas les coupures de la surface monodromique à passer par le point oùZ=0, le transport de cette surface sur le planz donnerait pour (15), un lieu fondamental recouvranttrois fois le planz autour du point de ramification. Les jeunes lecteurs feront bien de s'exercer à vérifier cela; d'autant plus que de cette manière ils commenceront d'apercevoir les conditions que l'on doit remplir dans la formation d'une surface monodromique afin que le lieu fondamental soit constitué comme on dit dans ce Mémoire. La fig.7″ nous présente non un seul mais deux points doubles, parce que nous avons voulu que le contour passe par ces points.Google Scholar
  15. 1.
    On pourrait so borner à dire, dans ce cas et dans les autres,que les couches se continuent les unes dans les autres autour des points de ramification, sans parler de lignes de pasage, dont seulement les extrémités (quelquefois même une seule des deux) sont déterminées, leurs cours restant arbitraire. Mais nous croyons gagner en clarté en considérant ces lignes et leur donnant dans nos figures une forme particulière. Nous ferons aussi remarquer à ce propos, que toutes les surfaces à plusieurs couches, dont il est question, peuvent être réellement construites, si l'on prend au lieu du plan représentatif une surface finie (p. e. une sphère), et si l'on se contento de prendre comme surfaces des réseaux (très-épais, si l'on veut) dont les noeuds seuls représentent les points portant les valeurs, pendant que les fils servent exclusivement à exprimer qu'il y a continuité dans la succession de ces valeurs; comme c'est expliqué dans notreTeorica susdite.Google Scholar
  16. 1.
    Pour fixer les idécs, supposons quez′ soit la valeur existante dans la couche supérieure.Google Scholar
  17. 1.
    Cettesurface complète peut être aussi conçue comme étendue sur le planZ. Pour l'obtenir sous cette forme, on doit s'imaginer de joindre à notre surface monodromique le long des quatre bordsAB, BC, CD, DA respectivement quatre surfaces également formées et dont les points homologues, portant les mêmes valeurs pourZ et le radical, portent pourz les valeurs que l'on obtiendrait par l'intégration de la différentielle (II) en suivant des chemins continus aboutissant à ces points homologues, mais ayant toujours pour origine le point qui a servi d'origine dans la surface monodromique fondamentale. Il va sans dire que, à chacune des quatre surfaces nouvelles, que l'on a joint à la surface monodromique fondamentale, on doit en joindre trois autres, et ainsi de suite indéfiniment. De cette manière on obtient au dessus d'un même point du planZ une infinité de points appartenant respectivement aux innombrables couches de cette surface complète. Ces points portent les diverses valeurs dez qui correspondent, d'après (IO), à une même valeur deZ. On sait que ces valeurs dez ne diffèrent des deux qui se trouvent dans la surface monodromique fondamentale que par les multiples des periodes correspondant aux nombres de fois que les chemins d'intégration auront dû traverser les lignes de coupure. Cela est en évidence dans la surface complète conçue comme étendue sur le planz.Google Scholar
  18. 1.
    Nous nommons fondamentaux le rectangle et le plan qui composent le lieu fondamental.Google Scholar
  19. 1.
    La fig. 6 nous dit que les valeurs du radical en ε′ et ε sont —M a i etM a i. La fraction (19) est le seul terme du développement dedz suivant les puissances croissantes deZ−a qui devient infini en ε′. L'intégrale y devient infinie commei/M alog(Z−a).Google Scholar
  20. 2.
    Ce qui importe c'est qu'elle soitmonodromique. On verra qu'il ne convient pas de s'en rapporter toujours à une surface monodromique à connexion simple.Google Scholar
  21. 1.
    Les côtés du rectangleABCD deviendront des droites parallèles aux axes, comme dans les paragraphes précédents.Google Scholar
  22. 2.
    En partant de ε, la ligne de coupure doit done aller, en suivant l'axe réel négatif, au point ∞; ici elle doit passer dans la couche supérieure et parvenir, toujours en suivant le dit axe, au point ε′.Google Scholar
  23. 1.
    Nous désignons par ξ le point et aussi (comme à l'ordinaire) la valeur dez en ce point. Pour avoir cette valeur on n'a qu'à écrire la somme des expressions des trois droites quez a parcourues en partant de O pour parvenir à ξ. La première droite est exprimée par l'intégrale (2I), la deuxième par −π/M a et la troisième par l'intégrale (22). Mais on trouvera bientôt une expression plus simple pour ξ.Google Scholar
  24. 1.
    Dans cette surface nous avons deux points où la valeur deZ est ∞. Ce sont les deux points placés au dessus du point ∞ du plan (sphère)Z, l'un desquels appartient au bordEF et l'autre au bordGH de la coupure. Dans la surface monodromique précédente (fig. 7) on n'avait qu'un seul point (le point de ramification) au dessus du point ∞ du planZ.Google Scholar
  25. 2.
    Nous ferons ailleurs des considérations sur cette classe de points, où l'intégrale devient infinie logarithmiquement.Google Scholar
  26. 1.
    Pour la partie deN′M′ qui recouvre l'axe entre ∞ eta−ϱ, l'intégration donne\(\int\limits_\infty ^{a - \rho } {\frac{{dZ}}{{(Z - a)( - Mi)}}} .\) Mais, on peut échanger entre elles les limites de l'intégrale en changeant en même temps le signe de la différentielle. Même remarque pour les autres intégrales.Google Scholar
  27. 1.
    Voir page 22 et 255, 256 de notreTeorica delle funzioni di variabili complesse.Google Scholar
  28. 2.
    Le nombre de ces périodes est originairement toujours pair. En faisant dans la surface Riemannienne, représentative de la fonction algébrique, ce système de coupures queRiemann désigne par les symbolesa 1 etb 1,a 2 etb 2, ete., dans le § 19 de saTheorie der Abel'schen Functionen (dont nous omettons ici les coupuresc 1, etc.), on voit immédiatement que les quatre bords de chaque couplea etb se transforment dans les quatre côtés d'un parallélogramme.Google Scholar
  29. 1.
    Il n'en serait pas de même, si l'on prenait les intégrales de 2me et 3me espèce sous la forme typique deLegendre. Du reste, la forme sous laquelle nous avons pris ici les intégrales de 2me et 3me espèce est telle que la connection du parallélogramme avec le plan ou la bande n'est pas effectuée de la manière la plus générale, c'est-à-dire, le long d'une ligne de passage aboutissant à deux points communs aux deux couches, sans d'autres particularités. Pour les formes (13) et (17) il survient la particularité que la différence de position de ces points communs est une période. Par conséquent, dans les surfaces complètes, dont nous avons commencé de parler au § 7, ces points deviennent communs à trois couches, e'est-à-dire, se comportent en points de ramification, nonsimples, maisdoubles.Google Scholar
  30. 1.
    Voir cette intégrale page 346.Google Scholar

Copyright information

© F. & G. Beijer 1986

Authors and Affiliations

  • F. Casorati
    • 1
  1. 1.Pavie

Personalised recommendations