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References
Deux périodes aussi seraient impossibles (§ 1 du Mémoire deJacobi) dans une fonction uniforme, si leur rapport devait être réel et incommensurable. Lorsque nous dironspériodicité multiple que l'on croit absurde, on doit y comprendre aussi le cas de dexu périodes en rapport réel et incommensurable entre elles.
Comptes rendus, T. 57, p. 1019.
Comptes rendus, T. 58, p. 207.—Cette fonction Z s'y trouve désignée aussi par θ(z).
Il est, au reste, presque superflu de remarquer que l'étude de ces fonctions ne va pas amoindrir mais augmenter la haute valeur des résultats déjà acquis dans la direction tracée parJacobi.
Quelques fautes d'impression en rendaient, peut-être, la lecture difficile dès le premier paragraphe. L'obseurité de l'auteur aura fait le reste.
Voir sa communication du 15 janvier 1885 à l'Académie des sciences de Berlin, sous le titre:Über den Charakter der Integrale von Differentialgleichungen zwischen complexen Variabeln.
Ne s'agissant ici que de la question de possibilité. de. la périodicité multiple dans les fonctions analytiques, je ne considère que deux cas très-simples; l'un bien connu à une période et l'autre à deux périodes. Le lecteur verra de lui même, assez clairement pour notre but, ce qu'il arrive dans tout autre cas.
Mon exposition paraîtra même trop développée. C'est que j'ai voulu être facile aussi pour d'autres lecteurs moins exercés.
J'entre dans beaucoup de détails relativement à ce cas connu, afin d'être clair et bref dans le cas successif.
Cette condition, que j'ajoute pour fixer les idées, ici comme dans la suite, n'entame en rien la nature de la recherche. Si l'on fixait un autre systèmez o ,Z o de valeurs initiales, on reviendrait au premier en posantz=z o +z′, Z=Z o +Z′; z′ etZ′ étant les nouvelles variables.
J'emploie la représentation usuelle des valeurs d'une variable complexe par les points d'un plan. Le pointa est donc le point du planZ qui représente la valeura deZ. Il en est de même pourz et pour le planz.
Nous concevons ce point et son couple comme indissolublement liés entre eux dorénavant.
Les figures dans ce lieu sont, comme on sait, des représentations conformes des figures correspondantes dans la surface monodromique.
Je dis que deux lignes ou figures sont congruentes entre elles lorsque l'une peut venir coïncider avec l'autre par une simple translation. Et dans notre planz, je dirai que la différence (de position)M—N de deux figures congruentesM etN est une certaine quantité complexe lorsque cette quantité exprime en grandeur et en direction la plus petite translation par laquelleN peut aller coïncider avecM.
Si au planz on substituait la sphèrez, ce cercle infiniment grand serait conçu comme un cercle infiniment petit autour du pointz=∞.
Je conserve les définitions, que je crois usuelles, dedirection positive d'un contour et detour. positif autour d'un point adoptées aussi dans maTeorica delle funzioni di variabili complesse (§ 70). Ici,Z décrirapositivement le contour, si en partant du point 1, elle ira successivement aux points 2, 3, 4, 1.
Je rappelle que, pendant ce mouvement, on peut poserZ−a=re iθ,dZ=re iθ idθ, dz=Aidθ. Si, ayant fixé un point 1 dans la fig. 1, on voulait déterminer le point 1 correspondant dans la fig. 1′, on ferait marcherZ de son O au point 1 par tel chemin que l'on veut dans la fig. 1, et l'on détermincrait le chemin correspondant dez dans la fig. 1′ par les valcurs successives de l'intégrale (1).
N'importe ici de préciser la nature géométrique de ces lignes. Cependant, si l'on veut imaginer que la coupure soit faite suivant une droite, la ligne 2..3 sera dans la surface monodromique une droite issue du pointa, et l'on pourra poser\(Z - a = re^{i\theta } ,dZ = e^{i\theta } dr\). Alors la différentielle à intégrer devient\(dz = A\frac{{dr}}{r}\); ce qui nous dit que la ligne 2..3 dans le lieu fondamental est une droite ayant la direction déterminée par l'argument de la grandeur complexeA.
Pardirection de A on entend celle de la droite qui va du point O au pointA. Les droitesperpeudiculaires à A ont la direction deAi ou de —Ai.
C'est-à-dire, lorsque le petit cerele sera réduit au pointa, et l'autre sera infiniment grand. Au reste, si les cereles n'étaient pas à l'état limite, la transformée de fig. 1 serait toujours une bande parallélogrammique, mais finie. Car les deux bords de la coupure se transforment toujours dans deux lignes congruentes, ayant entre elles la différenceA. 2πi.
C'est-à dire de points qui ont entre eux la même différence de position que les deux côtés.
Cette figure et le lieu fondamental correspondant se rapportent au cas parieulier, oùa=I, b=−I, A=I, B=i, avec les coupures suivant l'axe réel. Mais le discours est tout-à-fait général. Toutes ces figures, d'ailleurs, sont purement schématiques.
Ligne que je disde passage, et qui dans fig. 2′ est désignée par des traits.
A ces lieux on peut concevoir qu'il correspond, sur le plan Z, autant de surfaces monodromiques superposées l'une à l'autre et se continuant l'une dans l'autre le long de leurs bords 2..3, 1..8, 4..5, 7..6. Mais il est superflu maintenant de considérer cette correspondance.
Si le rapport des périodes devenait commensurable, le nombre des positions non homologues (dont on vient de parler) resterait fiui. La fonction serait simplement périodique, mais non pas uniforme, si les points de diramation ne dísparaissent pas. Si l'on voulait remonter à l'équation (2), en y faisantA. 2πi=μω etB. 2πi=νω, où μ et ν désignent des nombres entiers premiers entre eux, on obtiendrait par l'intégration\(e^{\frac{{2\pi i}}{\omega }Z} = \left( {I - \frac{Z}{a}} \right)^\mu \left( {I - \frac{Z}{b}} \right)^v\). Sin est le degré enZ de cette équation, on pourra donc, en effet, représenterZ par une surface recouvrantn fois le planz. Z étant algébrique par rapport à l'exponentielle, toutes ses valeurs se trouvent déjà dans une bande recouvrantn fois un lieu fondamental de l'exponentielle, qui est une bande de largeur ω, sur le planz. Ainsi, par exemple, dans le cas très-simple, où μ=ν=1 etb=−a (avec ω=2πi), tous les couples de valeurs de la fonction simplement périodique\(Z = a\sqrt {I - e^z }\) et de l'exponentiellee z sont représentés sur le planz par deux couches de largeur 2πi, superposées l'une à l'autre et se continuant l'une dans l'autre le long d'une ligne de passage qui part du point [formules (3)] oùe z=1 etZ=O.
Dans cette figure, ainsi que dans la fig. 4,a etb ont respectivement les valeurs 1 et 2.
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Ce premier Mémoire est la reproduction, corrigée par l'auteur, d'une brochure imprimée à Milan en 1885, et sert d'introduction au Mémoire plus étendu qui suit, et qui était inédit.
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Casorati, F. Les fonctions d'une seule variable. Acta Math. 8, 345–359 (1886). https://doi.org/10.1007/BF02417093
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DOI: https://doi.org/10.1007/BF02417093