Advertisement

Annali di Matematica Pura ed Applicata

, Volume 26, Issue 1, pp 301–374 | Cite as

Parametrizzazione delle superficie continue di area finita secondo Lebesgue

  • Lamberto Cesari
Article

Sunto.

Si dimostra che ogni superficie continua in forma parametrica di area finita secondo Lebesgue ammette una rappresentazione sul quadrato fondamentale (e quindi infinite) per la quale le tre relative trasformazioni piane sono assolutamente continue e per la quale l'area è data dall'integrale classico calcolato con i Jacobiani generalizzati delle tre trasformazioni piane. Inoltre tale rappresentazione riesce quasi conforme nel senso indicato nel testo.

Preview

Unable to display preview. Download preview PDF.

Unable to display preview. Download preview PDF.

Literatur

  1. (1).
    Cfr.L. Cesari,Sulla quadratura delle superficie in forma parametrica, « Boll. U. M. I. », serie II, Anno. IV (1942), pp. 109–117.Google Scholar
  2. (2).
    C. B. Morrey,An analytic caracterization of surface of finite Lebesgue area, « Amer. Journ. of Math. », vol. LVII (1935). pp. 692–702.MathSciNetGoogle Scholar
  3. (3).
    L. Cesari, Criteri di uguale continuità ed applicazioni alla guadratura delle superficie, « Annali Scuola Normale Sup. Pisa », ser. II. vol. XII (1943), pp. 61–84.MathSciNetGoogle Scholar
  4. (4).
    L. Cesari, Sulla rappresentazione delle superficie continue di area finita secondo Lebesgue, « Rend. Ist. Lomb. Scienze c Lettere », vol. 79 (1945–46), pp. 15–45.Google Scholar
  5. (5).
    Cfr. la nota riassuntiva:L. Cesari, Rappresentazione quasi conforme delle superficie continue, « Rend. Accad. Naz. Lincei », Ser. VIII, vol. 1 (1946), pp. 509–514.MATHMathSciNetGoogle Scholar
  6. (6).
    Cfr.S. Saks,Theory of the integral, « Monografic matematyczne », tom. VII, Warszawa 1937, pp. 221–223.Google Scholar
  7. (7).
    L. Tonelli, Sur la semicontinuité des intégrales doubles du Calcul des Variations, « Acta Mathematica », vol. 53 (1929), pp. 325–346;L'estremo assoluto degli integrali doppi. « Annali Scuola Normale Sup. Pisa », Ser. II, vol. II (1933), pp. 89–130.MATHGoogle Scholar
  8. (8).
    Per i richiami di questo e dei numeri successivi della teoria delle funzioni di variabile reale, si vedaS. Saks, loc. cit. in (6).Google Scholar
  9. (9).
    L. Tonelli, Sulla nozione di integrale. « Annali di Matematien pura e applicata ». Ser. IV. Tom. XI (1923–24). pp. 105–145.Google Scholar
  10. (10).
    Cfr.L. Cesari, Caratterizzazione analitica delle superficie continue di area finita secondo Lebesgue, « Annali Scuola Norm. Sup. Pisa ». ser. II, vol. X (1941), pp. 253–295, XI (1942), pp. 1–42. Si precisano qui varie proposizioni enunciate in tale lavoro, pp. 272 e segg.Google Scholar
  11. (11).
    Loe. cit. in (10), pp. 277–279.Google Scholar
  12. (12).
    Questa definizione è-dovuta aFrechét e aMc Shane V. E. J. Mc Shane, On the semi-continuity of double integrals in the Calculus of Variations, « Ann. of Math. », Vol. 33 (1932), pp. 460–484.CrossRefMathSciNetGoogle Scholar
  13. (13).
    Per una completa caratterizzazione topologica delle relazioni esistenti tra due diverse rappresentazioni di una stessa superfice si vedaJ. T. W. Youngs,The topological theory of Frechet surfaces, « Annals of Math. », Vol. 45 (1944), pp. 753–785.CrossRefMATHMathSciNetGoogle Scholar
  14. (14).
    Cfr. per tali definizioniL. Cesari, loc. cit. in (3) eC. B. Morrey, loc. cit. in (2). An analytic caracterization of surface of finite Lebesgue area. « Amer. Journ. of Math. », vol. LVII (1935). pp. 692–702MathSciNetGoogle Scholar
  15. (16).
    L. Cesari, Sui fondamenti geometrici dell'integrale classico per l'area delle superficie in forma parametrica, « Memorie Reale Accad. Italia », vol. XIII (1943), pp. 1323–1483; in part. pag. 1419.MathSciNetGoogle Scholar
  16. (17).
    L. Cesari, loc. cit. in (16),, p. 1526.Google Scholar
  17. (18).
    L. Cesari, loc. cit. in (10),, p. 28.Google Scholar
  18. (19).
    L. Cesari, loc. cit. in (16),, p. 1452 e p. 1480.Google Scholar
  19. (20).
    L. Cesari, loc. cit. in (3),, p. 72.Google Scholar
  20. (21).
    L. Cesari, loc. cit. in (3) eC. B. Morrey, loc. cit. in (2).An analytic caracterization of surface of finite Lebesgue area. « Amer. Journ. of Math. », vol. LVII (1935). pp. 692–702MathSciNetGoogle Scholar
  21. (22).
    Loc. cit. in (3),, p. 75.Google Scholar
  22. (23).
    Loc. cit. in (3),, pp. 83.Google Scholar
  23. (24).
    Loc. cit. in (4),, p. 12 e Osservazione di p. 30.Google Scholar
  24. (25).
    Tale aggiunta non modifica evidentemente le affermazionib),c),d),e). Si confronti anche la dimostrazione del teorema in loc. cit. in (24).Google Scholar
  25. (26).
    L. Cesari, l. c. in (14) e inoltreL. Cesari,Sulle trasformazioni continue e sull'area delle superficie, « Reale Accad. Italia », vol. XII, n. 22, pp. 1305–1395.MathSciNetGoogle Scholar
  26. (27).
    L. Cesari,Una uguaglianza fondamentale per l'area delle superifice, « Reale Accad. Italia », vol. XIV, n. 29, pp. 891–951. Questa memoria verrà citata in seguito con la sigla « U. F. » seguita della indicazione del paragrafo e del numero.Google Scholar
  27. (28).
    B. v. Kerekjarto,Topologie. Berlin, Springer, 1923, pp. 108–120. Cfr. loc. cit. in (27), pag. 901.Google Scholar
  28. (29).
    Loc. cit. in (28).Google Scholar

Copyright information

© Swets & Zeitlinger B. V. 1947

Authors and Affiliations

  • Lamberto Cesari
    • 1
  1. 1.Bologna

Personalised recommendations