Annali di Matematica Pura ed Applicata

, Volume 16, Issue 1, pp 221–261 | Cite as

La geometria delle funzioni analitiche di più variabili ed i teoremi di esistenza e di unicità ad esse relativi

  • Francesco Severi
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Dopo aver classificato e caratterizzato le varietà algebroidi dello spazio reale a2n dimensioni, rappresentativo din variabili complesse, più importanti dal punto di vista delle trasformazioni pseudoconformi, l'Autore dà i teoremi di unicità e di esistenza concernenti una funzione analitica dellen variabili, della quale sia assegnata la traccia (colle condizioni che occorrono) sopra una varietà algebroide di dimensione qualunque.

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References

  1. (1).
    Pern=2 le superficie caratteristiche sono state, com'è noto, considerate daLevi-Civita e gl'iperplanoidi daE. E. Levi, Poincaré, Almer (ved. le notizie bibliografiche p. es. nella mia Monografia,Risultati, vedute e problemi nella teoria delle funzioni analitiche di due variabili complesse, « Rend. del Seminario Matem. della R. Università di Roma », 1932). Pern>2 le varietà 1), 2), 3), 4) sono state studiate dal mio discepolo spagnuoloJ. M. Planas in una tesi iniziata con me e pubblicata, con ulteriori sviluppi, nel giugno 1935 fra le « Memòries de l'Acadèmia de Ciences i Arts de Barcelona » (Contribución a la geometria pseudoconforme de n dimensiones). La parola planoide è però usata dalPlanas in un'accezione più particolare, che, come risulterà dal seguito, va abbandonata. Ho anche reputato opportuno (per ragioni che risulteranno poi evidenti) cangiare un poco la terminologia, che io stesso avevo suggerito alPlanas.Google Scholar
  2. (4).
    Pel simbolismo e per la terminologia relativi a forme differenziali di grado qualunque mi riferisco alla Monografia diE. Kaehler,Einführung in die Theorie der Systeme von Differentialgleichungen (« Hamburger Math. Einzelschriften », 16 Heft, 1934), ove trovasi esposta in modo sistematico la teoria generale dei sistemi di forme differenziali, dovuta essenzialmente adÉ. Cartan.Google Scholar
  3. (5).
    Severi, « Comptes rendus de l'Académie des Sciences de Paris », 1931 (2 mars);Contributi alla teoria delle funzioni biarmoniche (« Memorie della R. Accademia d'Italia », 1931), pag. 407.Google Scholar
  4. (1).
    Cfr.Severi,Risoluzione generale del problema di Dirichlet per le funzioni biarmoniche (« Atti della R. Acc. Nazionale dei Lincei », 1931); pag. 798.Google Scholar
  5. (1).
    Cfr.Kaehler, loc. cit., pagg. 26, 32. Ved. pure a pag. 61 della citata Monografia, dove il teorema d'esistenza è applicato a dimostrare, nel cason=2, che per ogni linea algebroide reale diS 4 passa una sola superficie caratteristica.Google Scholar
  6. (2).
    Cfr.Kaehler, loc. cit., pag. 23.Google Scholar
  7. (3).
    Ibidem, pag. 32.Google Scholar
  8. (2).
    Questa è una facile conseguenza del teorema locale di esistenza delle funzioni olomorfe di più variabili bicomplesse dato daScorza-Dragoni a pag 621 delle « Memorie della R. Accademia d'Italia », 1934, nel lavoro:Sulle funzioni olomorfe di una variabile bicomplessa Google Scholar
  9. (1).
    Cfr.Scorza-Dragoni, loc. cit., pag. 624.Google Scholar
  10. (1).
    Pern=2 questo risultato fu ottenuto analiticamente daB. Segre poggiando sul teorema d'esistenza diCauchy-Kowaleski. Ved. la Memoria,Questioni geometriche legate colla teoria delle funzioni di due variabili complesse (« Rendiconti del Seminario Matematico della R. Università di Roma », 1931); n. 6. La denominazione dipiani nulli (n=2) è di questo Autore. Egli però chiama « bicaratteristiche » le linee eccezionali che noi abbiamo chiamate « nulle ». La denominazione di bicaratteristiche sembra invece più appropriata per le varietà (dello spazio Σ′) che abbiamo denotato con questo nome, in quanto esse sono, in un certo senso, due volte caratteristiche.Google Scholar
  11. (2).
    Dimostrazioni semplicissime di questo teorema trovansi inB. Segre e in una mia Memoria. Ved. la mia Monografia citata,Risultati, vedute e problemi, ecc.; pag. 27.Google Scholar
  12. (3).
    Contenuto sostanzialmente nella Memoria diWirtinger citata più tardi (n. 24), ed in modo esplicito nella tesi più volte citata, con dimostrazione però meno semplice di quella esposta nel testo.Google Scholar
  13. (1).
    Ved. la mia citata Memoria,Contributi, ecc.; n. 20.Google Scholar
  14. (2).
    Pern=2 il teorema è stato dato daB. Segre,Questioni geometriche legate colla teoria delle funzioni di due variabili complesse (« Rendiconti del Seminario Matematico di Roma », 1931-IX); n. 24. La dimostrazione diB. Segre è però molto meno semplice, nè sembra facilmente generalizzabile.Google Scholar
  15. (1).
    Ved. pern=2 un principio del genere nella mia citata Monografia,Risultati, vedute, ecc.; n. 36. Altri Autori si sono occupati della questione da punti di vista diversi da quello del testo (Montel, Carathéodory, Bouligand, B. Levi, Viola). Ved. p. es. la Nota diB. Levi nel « Bollettino dell' Unione Matematica Italiana », 1934; n. 1, pag. 1, dove si trovano citati i lavori degli Autori sopra nominati. (In una postilla a tale Nota uscita nel successivo fascicolo del medesimo « Bollettino », p. 104, è citata altresi la mia anteriore osservazione per le funzioni di due variabili). La Nota delViola (che pure mostra di ignorare la mia osservazione) è posteriore anche a quella delLevi e trovasi nei « Comptes rendus »; 19 febbraio 1934.Google Scholar
  16. (2).
    Ved. la mia Nota,Su alcune questioni di topologia infinitesimale, « Annales de la Société polonaise de Mathématique », t. IX, 1930, p. 97.Google Scholar
  17. (1).
    Ved. il n. 21 o il n. 1 (pag. 798) della mia Nota,Risoluzione generale del problema di Dirichlet per le funzioni biarmoniche (« Rendiconti della R. Accademia Nazionale dei Lincei », giugno 1931).Google Scholar
  18. (1).
    Pern=2 il teorema trovasi stabilito, seguendo lo stesso concetto della dimostrazione sopra esposta, nella mia Nota lincea citata,Risoluzione generale del problema di Dirichlet, ecc. Per leV n di Σ (caso in cuir=n) ed in particolare dunque per le superficie diS 4, il teorema fu conseguito (per via molto diversa da quella da noi battuta) daLevi-Civita (« Rendiconti della R. Accademia Nazionale dei Lincei », t. XIV, 2o sem. 1905, pag. 492). La caratterizzazione in questo caso delle varietà eccezionali rispetto al teorema di esistenza e di unicità, cheLevi-Civita si era limitato ad indicare per mezzo di una relazione formale, fu geometricamente espressa daWirtinger nella Memoria,Zur formalen Theorie der Funktionen von mehr complexen Veränderlichen (« Math. Annalen », Bd. 97; 1926, pag. 375). Le varietà eccezionali restano appunto, nel casor=n, determinate conWirtinger, come nel nostro teorema generale, dal fatto di appartenere aM 2n-2 caratteristiche. Il teorema generale e la sua dimostrazione, quali abbiamo dato nel testo, furono esposti per la prima volta nella mia citata conferenza all'Istituto Poincaré e riprodotti di poi nella tesi diPlanas.Google Scholar
  19. (1).
    Wirtinger,Zur formalen Theorie, ecc. (citata).Google Scholar
  20. (1).
    Ved. la mia Monografia,Risultati, vedute e problemi, ecc.; n. 39.Google Scholar
  21. (1).
    Ved. la mia Memoria citata,Contributi, ecc.; n. 22.Google Scholar
  22. (1).
    Con facile estensione del ragionamento esposto, perk=2, nel n. 7 della mia citata Memoria,Contributi, ecc..Google Scholar

Copyright information

© Nicola Zanichelli 1937

Authors and Affiliations

  • Francesco Severi
    • 1
  1. 1.Roma

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