Sunto
Un problema di valori al contorno per una equazione lineare parabolica del quarto ordine, trattato in senso ordinario daB. Pini, è considerato in un senso generalizzato da tempo introdotto da">G. Cimmino nello studio del problema diDirichlet per le equazioni ellittiche del secondo ordine.
Article PDF
Avoid common mistakes on your manuscript.
Bibliografia
B. Pini,Sul problema fondamentale di valori al contorno per una classe di equazioni paraboliche lineari. « Ann. di Mat. pura ed appl. », 4, 43 (1957).
Un problema di questo tipo per equazioni del secondo ordine di jtipo ellitico è stato da lungo tempo trattato daG. Cimmino,Nuovo tipo di condizione al contorno e nuovo metodo di trattazione per il problema generalizzato di Dirichlet, « Rend. Circ. Mat. Palermo », 61 (1937), cui hanno fatto seguito vari lavori di altri Autori. Per una esposizione d'insieme come pure per la bibliografia di questo problema cfr.C. Miranda,Equazioni alle derivate parziali di tipo ellitico, Springer 1955.
B. Pini,Su una generalizzazione del problema fondamentale di valori al contorno per l'equazione del calore iterata, « Rend. Sem. Fac. Sci. Univ. Cagliari », 26 (1956);Sul problema di Dirichlet per le equazioni a derivate parziali lineari ellitiche in due variabili, « Rend. Sem. Mat. Univ. Padova », 26 (1956).
A. Wintner,On the Hölder restrictions in the theory of partial differential equations, « Am. Journ. of Math. », 72 (1950).
P. Hartman - A. Wintner,On the inverse of the parabolic differential operator \(\frac{{\partial ^2 }}{{\partial x^2 }} - \frac{\partial }{{\partial y}}\), « Am. Journ. of Math. », 75 (1953).
J. Hadamard,Équations du type parabolique dépourvues de solutions. « Journ. of Rat. Mech. and Analysis », 3 (1954).
L. Lichtenstein,Über das Poissonsche Integral und über die partiellen Ableitungen zweiter Ordnung des logaritmischen Potentials, « Journ. reine angw. Math. », 141 (1912).
K. O. Friedrichs,A theorem of Lichtenstein, « Duke Math. Journ. », 14 (1947).
Da quanto esposto appare che teoremi analoghi a quello diLichtenstein, per potenziali di dominio con densità di quadrato sommabile, consentono di estendere quanto fatto daG. Cimmino, nella trattazione del problema generalizzato diDirichlet per l'equazione diPoisson in due variabili (cfr. op. cit in (2)) ai problemi generalizzati per le corrispondenti equazioni non omogenee, con secondo membro di quadrato sommabile, giungendo a risultati simili a quello là ottenuto ed a quello esposto qui sopra. Ciò vale per es. per il problema generalizzato relativo alla equazione parabolica lineare del secondo ordine trattato daB. Pini (Un problema di valori al contorno, generalizzato, per l'equazione a derivate parziali lineare parabolica del secondo orine, « Riv. Mat. Univ. Parma », 3 (1952)), essendo già stato provato dallo stesso Autore il teorema analogo a quello diLichtenstein per l'equazione del calore (B. Pini,Un problema al contorno per l'equazione \(\frac{{\partial ^4 u}}{{\partial x^4 }} - \frac{{\partial ^2 u}}{{\partial y^2 }} = 0\), II, « Rend. Accad. Naz. Lincei », (8) 14 (1953).). Ricordo infine che altre generalizzazioni del problema (2) sono state oggetto di ricerche da parte diF. E. Browder,Linear parabolic differential equations of arbitrary order; general boundary value problems for elliptic equations, » Proc. Nat. Acad. Sci. », 39 (1953),Parabolic systems of differential equations with time-dependent coefficients, « Proc. Nat. Acad. Sci. », 42 (1956);P. D. Lax andA. N. Milgram,Parabolic equations, « Contributions to the theory of partial differential equations », Princeton, New Jersey (1954);V. E. Lanze,Su un problema al contorno per i sistemi parabolici di equazioni differenziali con il membro destro fortemente ellitico, « Mat. Sbornik », 35 (77) n. 2 (1954) (in russo);J. L. Lions,Sur certains problémes mixtes « C. R. Acad. Sci. » Paris, 240 (1955),Sur quelques problèmes aux limites, C. R. Acad. Sci. », Paris, 242 (1956).L. N. Slobodieckii,Soluzioni generalizzate di sistemi parabolici ed ellittici, « Izvestia Acad. Nauk SSSR », Serie mat 21 (1957) (in russo).
H. Block,Sur les équations linéaires aux deriveés partielles á caractéristiques multiples, « Arkiv för Mat. Astr. och Fys. », Bd. 7 (1912) e Bd. 8 (1913).
Q. A. Ladyzhenskaia,Sull'unicità della soluzione del problema di Cauchy per una equazione lineare parabolica. « Mat. Sbornik », 27 (69) (1950) (in russo).
Cfr. loc. cit. in (1) p. 295.
Cfr. loc. cit. in (1) p. 278.
Cfr. loc cit. in (1) p. 295 e p. 297.
F. G. Dressel,The fundamental solution of the parabolic equation, « Duke Math. Journ. », 7 (1940).
Cfr. loc. cit. in (1) p. 277.
Cfr. loc. cit. in (1) p. 277.
Cfr. loc. cit. in (1) p. 273.
Con ragionamenti di tipo noto (Cfr.E. Magenes,Problema generalizzato di Dirichlet e teoria del potenziale, Rend. Sem. Mat. Univ. Padova, 24 (1955)), si potrà mostrare chese in (3)figura l'equazione L 0[u]=0anzichè la L[u]=0,la soluzione del problema generalizzato trattato sarà espressa dalla (10)con α1 (η), α2(η), β(η), γ(η)sommabili in (0, 1).La v e la ∂v/∂x convergeranno allora, per quasi tutti i punti di γ1 e γ2,ai valori di ϕ1i (y)e ϕ2i (y)lungo le caratteristiche η=y, 0≤y ≤ 1. Anche questo si consegue facilmente transportando ai potenziali che compaiono in (10), procedimenti in uso nella teoria del potenziale generalizzato per l'equazione diLaplace e l'equazione del calore (Cfr. per es.G. Fichera,Teoremi di completezza sulla frontiera di un dominio per taluni sistemi di funzioni, Ann. di Mat. pura appl., (4), 27 (1948);E. Magenes,Sull'equazione del calore: teoremi di unicità e teoremi di completezza connessi col metodo di integrazione di M. Picone, « Rend. Sem. Mat. Univ. Padova », 21 (1952)).
Questa condizione si presenta come l'analoga di quella che si trova inH. Petrini,Les deriveés premières et secondes du potentiel logarithmique, «Journ. de Math.», (6), 5, (1908). Cfr. pure op. cit. in (5) ed in (6).
Cfr. op. cit. in (8) pp. 69–72.
Cfr. la terza op. cit. in (9) p. 747.
Cfr. op. cit. in (1) p. 278.
Cfr. op. cit. in (8) p. 68.
Cfr. op. cit. in (8) pp. 77–79.
Cfr. nota (18).
Author information
Authors and Affiliations
Rights and permissions
About this article
Cite this article
Cattabriga, L. Una generalizzazione del problema fondamentale di valori al contorno per equazioni paraboliche lineari. Annali di Matematica 46, 215–247 (1958). https://doi.org/10.1007/BF02412917
Issue Date:
DOI: https://doi.org/10.1007/BF02412917