Summary
The method of singularities is used to solve theCauchy problem for simple hyperbolic partial differential equations, namely, the wave equation and the damped wave equation. The representation formula for the solution of theCauchy problem is written in terms of finite parts and logarithmic parts of certain divergent integrals.
A process of analytic continuation is also used to solve theCauchy problems under consideration. However, to obtain explicitly the representation formulas for the solutions, one must actually perform the analytic continuation. It is shown that this is best achieved by making use of finite and logarithmic parts.
Simple examples were purposely chosen so as to show that consideration of finite and logarithmic parts is naturally unavoidable and « in the very nature of things ».
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To Enrico Bompiani on his scientific Jubilee.
This work was sponsored in part by the Air Force Office of Scientific Research of the Air Research and Development Command, United States Air Force, through its European Office.
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Bureau, F.J. Problems and methods in partial differential equations. Annali di Matematica 55, 323–388 (1961). https://doi.org/10.1007/BF02412091
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