Sunto.
Una superficieS 2 di uno spazio RiemannianoR 3 si chiamapiana, se ogni geodediR 3 toccante laS 2 appartiene completamente allaS 2. Si dimostra: Se per un puntop di unR 3 passa un tale « piano » colla normale inp arbitrariamente scelta, lo spazioR 3 ammette tutte le rotazioni attorno al puntop.
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Literatur
E. Beltrami, « Annali di Matematica », (1),7 (1866), =Opere I;L. Schläfli, « Annali di Matematica », (2),5 (1872);F. Schur, « Mathematische Annalen »,27 (1886);G. Her glotz,Zur Riemannschen Metrik, « Leipziger Berichte »,73 (1921), S. 215–225. Eine Vereinfachung der Beweise vonBeltrami, Schläfli undF. Schur wurde unter Beschränkung auf besondere analytische Gebilde vonF. Enriques angedeutet, R. Accademia Bologna (2), 7 (1902–1903), pp. 52–58.
Ueber diese Erklärung der « Ebenen » nachHeron von Alexandria vgl. den Brief vonC. F. Gauss anF. W. Bessel von 27-1-1829 im « Briefwechsel zwischenGauss undBessel », Leipzig 1880, S. 490. FernerF. Enriques (U. Amaldi),Questioni... I (1924), S. 47.
Damit wird eine Brücke hergestellt zu den Untersuchungen über Grundlagen der Geometrie vonH. v. Helmholtz, « Göttinger Nachrichten », 1868;S. Lie inLie-Engel, « Transformations-gruppen », III (1893), Abteilung V undD. Hilbert, « Mathematische Annalen »,56 (1902).
Vgl. etwaW. Blaschke,Differentialgeometrie, II, Berlin 1923, § 55.
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Blaschke, W. Ein Satz vonHerglotz zur GeometrieRiemanns . Annali di Matematica 19, 251–256 (1940). https://doi.org/10.1007/BF02410547
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DOI: https://doi.org/10.1007/BF02410547