Annali di Matematica Pura ed Applicata

, Volume 19, Issue 1, pp 153–242 | Cite as

I fondamenti della geometria numerativa

Nel quarautesimo anniversario della mia attività scientifica
  • Francesco Severi
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Sunto.

Costruzione dei fondamenti della geometria numerativa (computo della costanti, conservazione del numero, calcolo simbolico, principio generalizzato diPlücker-Clebsch) dal punto di vista delle teorie (dovute all' Autore), che hanno fatto progredire e rinnovato tanta parte della moderna geometria algebrica (teoria della base, varietà virtuali, sistemi d'equivalenza, teoria generale delle corrispondenze). Teorema d'esistenza delle caratteristiche delle condizioni pure di data dimensione imposte agli elementi d'una varietà algebrica, anche in presenza di elementi degeneri. Applicazioni (teoria delle caratteristiche inerenti a spazi lineari, risoluzione generale del problema delle caratteristiche per le coniche d'un piano, base e modello minimo della varietà degli elementi lineari del piano) (1).

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Literatur

  1. (1).
    La trattazione qui esposta ha fornito materia ad una parte del mio corso di Alta Geometria (1939–40) presso il Reale Istituto Nazionale di Alta Matematica.Google Scholar
  2. (2) a).
    Severi,Sul principio della conservazione del numero (« Rend. del Circ. Mat. di Palermo », 33 (1912), pp. 313–327);MATHGoogle Scholar
  3. (2) b).
    Sui fondamenti della geometria numerativa e sulla teoria delle caratteristiche (« Atti del R. Istituto Veneto di Scienze, Lettere ed Arti », 75 (1916), pp. 1122–1162);Google Scholar
  4. (2) c).
    Ueber die Grundlagen der algebraischen Geometrie (« Abhandlungen aus dem Math. Seminar der Hamburgischen Universität », 9 (1933), pp. 335–364).MATHGoogle Scholar
  5. (3).
    Nella citata Memoria di Amburgo questa dimostrazione fu ripetuta alla luce delle accennate precisazioni, le quali erano il sottinteso elementare ed ovvio d'ogni deduzione, per chiunque conoscesse a fondo la nostra geometria: sottinteso che, ad ogni modo, sarebbe stato posto in evidenza quando avessimo avuto occasione di esporre trattatisticamente la materia. Non mi sembra perciò giusto che non si ricordi adeguatamente l'opera degli italiani, che più hanno contribuito ai moderni progressi della geometria algebrica, allorchè di questa si espongono metodicamente i concetti e le teorie fondamentali, come ha fatto il prof.Van Der Waerden nel suo bel trattato:Einführung in die algebraische Geometrie (Berlin, Springer 1939), che d'altronde si ravvicina di più ai metodi della scuola italiana, che non a quelli della « Moderne Algebra ».Google Scholar
  6. (4).
    « Math. Annalen », Bd. 115 (1938), pp. 645–655. Ivi la mia Memoria del 1916 non è citata. L'A. dimostra anche la formula diCremona per le condizioni doppie (che noi ritroveremo a nostra volta), ma la considera dal punto di vista ristretto cui sotto si accenna.Google Scholar
  7. (5).
    Ved. la mia Memoria c) citata. Ved. pure le mie Lezioni sulleSerie, sistemi d'equivalenza e corrispondenze algebriche sulle varietà algebriche (raccolte daF. Conforto edE. Martinelli; « Pubblicazioni dell'Istituto Mat. della R. Università di Roma », 1938 e segg.), p. 8.Google Scholar
  8. (6).
    Le quali varietà tengon luogo, in un certo senso, di un gruppo di un numero finito d'intersezioni isolate:Ueber die Grundlagen der Algebraischen Geometrie, (citata), p. 352, Bemerkung I.Google Scholar
  9. (7).
    Ved. le mie Lezioni citate, p. 9 e segg.Google Scholar
  10. (8).
    Ved. le mie citate Lezioni, p. 13.Google Scholar
  11. (9).
    Severi,Sulla totalità delle curve algebriche tracciate sopra una superficie algebrica (« Math. Annalen », 62 (1906), pp. 194–225);La base minima pour la totalité, ecc. (« Ann. de l'École normale supérieure de Paris », (3), 25 (1908), pp. 449–468);Complementi alla teoria della base per la totálità delle curve di una superficie algebrica (Rend. del Circolo Matematico di Palermo », 30 (1910), pp. 265–288);La base per le varietà algebriche di dimensione qualunque contenute in una data, ecc. (« Memorie della R. Accademia d'Italia », 1934-XII).CrossRefMATHMathSciNetGoogle Scholar
  12. (10).
    Ved. le mie Lezioni citate, p. 94.Google Scholar
  13. (11).
    Nel n. 4 della Notaa) citata in (2), p. 1 avevo stabilito la stessa conclusione in modo in apparenza diverso.Google Scholar
  14. (12).
    Ved. le mie citate Lezioni, p. 97.Google Scholar
  15. (13).
    Lezioni citate, pp. 95 e 98.Google Scholar
  16. (14).
    Lezioni citate, p. 99.Google Scholar
  17. (15).
  18. (16).
    Lez. citate, p. 101.Google Scholar
  19. (17).
    Citato a p. 1, nota (2) a pie' di pagina.Google Scholar
  20. (18).
    Ved.Severi,Lezioni di Analisi, I. (Bologna, Zanichelli), p. 330 e pag. 403.Google Scholar
  21. (19).
    Del quale ho dato la prima rigorosa dimostrazione nella Nota:Sulla compatibilità dei sistemi di equazioni algebriche ed analitiche (« Rend. della R. Acc. Naz. dei Lincei », (6), 17 (1933), pp. 3–10). Ved. pure le mie citateLezioni di Analisi (II ed.), vol. I, p. 409. Un'estensione del criterio stesso, da cni appunto dedurremo ora quella di maggior generalità, trovasi nella mia Nota:Un'ampia estensione del criterio di Plücker-Clebsch (« Bollettino dell'Unione Matematica Italiana », (2), 1 (1939), pp. 97–99).Google Scholar
  22. (20).
    Argomentazione elementare per chi abbia pratica di geometria algebrica; ma che tuttavia trovasi dimostrata a p. 349 della mia Memoriac).Google Scholar
  23. (21).
    Ved. a pag. 98 della mia Nota ultimamente citata del « Bollettino dell'U.M.I. », 1939.Google Scholar
  24. (22).
    Severi,Sopra alcune singolarità delle curve di un iperspazio (« Memorie della R. Acc. di Torino », (2), 51 (1902), pp. 81–114).MATHGoogle Scholar
  25. (23).
    Rinvio per quest'ultima teoria alla mia conferenza:La teoria generale delle corrispondenze fra due varietà algebriche e i sistemi di equivalenza (« Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Hansischen Universität », 1939), ove son riassunti i miei precedenti lavori sull'argomento. Occorre in particolare tener conto del risultato al n. 10 della mia Nota:La teoria generale delle corrispondenze tra varietà algebriche (« Rend. della R. Acc. Naz. dei Lincei », (6), 23 (1936-XIV), pp. 818–823, 921–925) e di quello al n. 7 dell'altra mia:Complementi alla teoria generale delle corrispondenze tra varietà algebriche « (Rend. della R. Acc. Naz. dei Lincei », (6), 25 (1937-XV), pp. 3–9).Google Scholar
  26. (24).
    Invero, nella mia Memoria,La base per le varietà algebriche, ecc. (citata a p. 162), ho dimostrato che in ogni famiglia di varietà di data dimensionek inS r, vi sono forme limiti composte esclusivamente da spazi linearS k.Google Scholar
  27. (25).
    Ved. in particolare:Severi,La teoria generale delle corrispondenze tra varietà algebriche (« Atti della R. Acc. Naz. dei Lincei », (6), 23 (1936-XIV), pp. 818–823; 921–925).MATHGoogle Scholar
  28. (26).
    Severi,Le coincidenze d'una serie algebrica ∞ (k+i)(r−k) di coppie di spazi a k dimensioni immersi nello spazio a r dimensioni (« Rend. della R. Acc. dei Lincei », (5), 9 (1900), pp. 321–326).MATHGoogle Scholar
  29. (27).
    Ved. p. es.Bertini,Introduzione alla geometria proiettiva degli iperspazi, II ed., Principato, Messina, 1923, p. 48.Google Scholar
  30. (28).
    Notaa) citata a p. 1.Google Scholar
  31. (29).
    Problema cheSchubert aveva già sciolto nel 1886 con la conservazione del numero, ma senza le precisazioni e gli accertamenti che potevano render rigorosa la sua soluzioneGoogle Scholar
  32. (30).
    Severi,Sulla varietà che rappresenta gli spazi subordinati di data dimensione, immersi in uno spazio lineare (« Annali di Matematica », (3), 24 (1915), pp, 89–120).MATHGoogle Scholar
  33. (31).
    Cfr. con la nota a piè della p. 188.Google Scholar
  34. (32).
    Invero, lapostulazione d'una varietà rispetto alle forme d'un ambiente lineare che la contenga, dipende soltanto dai caratteri numerativi della varietà (ved.Severi, Fondamenti per la geometria sulle varietà algebriche « Rend. del Circolo Mat. di Palermc », 28 (1909), pp. 33–87).MATHGoogle Scholar
  35. (33).
    Anzi una varietàlineare, perchè è in corrispondenza biunivoca senza eccezioni coi punti di unS r-h-i situato genericamente nelloS r tangente inx adM r. Vedi le mie Lezioni sulle serie d'equivalenza citate a p. 157 (p. 21).Google Scholar
  36. (34).
    Ved. la mia Memoriab) del 1916 citata in (2) a piè della p. 153. Ivi trovansi le citazioni sullo stato della questione in quel momento. Si deve tener conto in modo particolare, per ciò che concerne la rappresentazione delle coniche coi punti di unS 5, del Cap. XVI (pag. 406) del trattato diBertini,Introduzione alla geometria proiettiva degli iperspazi (Messina, Principato, 1923). Le considerazioni sotto riassunte,per le condizioni semplici, furono, quasi tutte, da me svolte nella Memoria del 1916, salvo qualche maggior determinazione, che ora s'introduce, coll'ulteriore essenziale complemento relativo a condizioni soddisfatte da tutte le coniche degeneri di 3a specie.Google Scholar
  37. (35).
    La dimostrazione che laM 5 costruita nel modo indicato è priva di punti multipli, trovasi nella Memoria diVan Der Waerden (« Math. Ann. », 1938), citata in (1) a p. 156. Accenneremo nel n. 50 al modo di pervenire a questa conclusione.Google Scholar
  38. (36).
    Estensione ovvia alle varietà di uno de' miei criteri d'equivalenza. Ved. p. es. le mie Lezioni sulle serie e i sistemi d'equivalenza citate a pag. 157; pp. 190 e segg.Google Scholar
  39. (37).
    Ved. a proposito dei modelli minimi le mie citate Lezioni, p. 20.Google Scholar
  40. (38).
    La parte variabile dellaV k−1, che descrive un sistema lineare diV k−1 entro unaV k può spezzarsi soltanto se leV k−1 son composte con le varietàW k−1 di un fascio. Conseguenza immediata questa p. es. del teorema concernente i punti multipli che laV k−1 mobile possegga fuori di varietà base del sistema. Ved.Bertini,Geom. proiettiva degli iperspazi (citata) p. 285.Google Scholar
  41. (39).
    Applicando proposizioni generali di geometria sulle varietà (vedSeveri,Fondameuti per la geometria sulle varietà algebriche « Rend. del Circolo Matematico di Palermo », 28 (1909), pp. 33–87) se ne trarrebbe subito che la serie lineare caratteristica di |F| è completa a quindi che |F| ha la dimensione 7; ma non val la pena di ricorrere a tanto per una questione cosi elementare e alla quale si risponde agevolmente in modo diretto, come ora vedremo.MATHGoogle Scholar
  42. (40).
    La base minima delleV 3 diE fu determinata altrimenti daBordiga (« Annali di Matematica », (3), 27 (1918), pp. 1–40), il quale giunse appunto alla conclusione che ogniV 3 diE è multipla diA.MATHGoogle Scholar

Copyright information

© Nicola Zanichelli 1940

Authors and Affiliations

  • Francesco Severi
    • 1
  1. 1.Roma

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