Sunto.
Si dimostrano alcune formule, che danno-in forma esplicita un integrale della:
oppure della:
e se ne fanno varie applicazioni. Tra l'altro, si dimostra la proprietà notevole che« un integrale della (A), oppure della (B), che è definito in un dominio appartenente al semipiano y≥0, e che si riduce ad una funzione, analitica su un segmento dell'asse x,è prolungabile anche nel semipiano y≤0come funzione analitica di x, y ». Si dà pure una condizione necessaria e sufficiente per la risolubilità del problema diCauchy nel campo reale, in un dominio attraversato dall'assex, quando la curva portante i dati sia un segmento dell'assex.
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Literatur
M. Cibrario,Il principio di minimo e le equazioni di tipo misto ellittico-paraboliche, « Rendic. del Circolo Matematico di Palermo », t. LXI (1937-XVI), pp. 122–138.
Per questa denominazione v.M. Cibrario,Sulla riduzione a forma canonica delle equazioni lineari alle derivate parziali di secondo ordine di tipo misto, « Rendic. del R. Istituto Lombardo », s. II, vol. LXV (1932), pp. 889–906.
M. Cibrario, l. c. in (1), Rendic. del Circolo Matematico di Palermo § 1, T. III, p. 125 e § 3, T. VI, p. 133.
S. Gellerstedt,Sur un problème aux limites pour l'équation: y2szxx+zyy=0, « Arkiv », B. 25 (1936), A, n. 10, pp. 1–12.
M. Cibrario,Sulla dimostrazione di un teorema di esistenza. « Bollettino dell'U. M. I. », anno XVII (1938), pp. 94–98.
M. Cibrario, l. c. in (4), § 1, Teor. I, p. 125.
M. Gevrey,Sur la nature analytigue des solutions des équations aux dérivées portielles, 1er Mém., « Ann., Éc. Norm. », 3e s., t. 35e (1918), pp. 129–190. V. per questo il § 4, n. 8, p. 186.
Per questa denominazione v.M. Cibrario, l. c. in (2).
La (B) perh=1 èl'equazione del Tricomi. (F. Tricomi, Sulle equazioni lineari alle derivate parziali di secondo ordine di tipo misto, « Mem. della R. Acc. dei Lincei », s. 5a, vol. XIV (1923), pp. 133–247).
Il problema fu già studiato, con metodo diverso, dalTricomi per il casoh=1. (F. Tricomi,Ulteriori ricerche sull'equazione yzxx+zyy=0, « Rendic. del Circolo Mat. di Palermo », t. LII, anno 1928, pp. 63–90; v. il § 4). Il metodo qui tenuto lumeggia di più la natura della condizione imposta, poichè si riattacca a considerazioni di carattere generale.
V. p. es.Nielsen,Handbuch der Theorie der Cylinderfunktionen, « Erster Teil », Kap. I, § 1, p. 4, form. (6).
Nielsen, l. c., Kap. I, § 4, p. 16.
Nielsen, l. c., Kap. X, § 57, p. 152, form. (14) e (15), nelle quali è scrittox in luogo di λ ey in luogo di μ.
Nielsen, l. c. in (49). Quatrième Partie, Chap. XVI, § LIV, p. 198, form. (1) e (2).
Kogbetliantz,Recherches sur la sommabilité des séries ultrasphériques par la méthode des moyennes arithmétiques, « Journ. de Math. », s. IX, t. 3 (1924), pp. 107–187, V. introduzione p. 118, e il § 5, pp. 168–169.
Kogbetliantz, l. c., § 4, pp. 154–155.
Kogbetliantz, l. c., form. (4), p. 111.
Kogbetliantz, l. c., form. (7), p. 112.
Kogbetliantz, l. c. Introduzione p. 118 e § 5, pp. 168–169.
Come si è detto già nell'introduzione, i teoremi di unicità corrispondenti ai teoremi di esistenza, qui dimostrati, sono contenuti nel risultato generale del mio lavoro citato in (1) (v. § 1, T. I, p. 125 di tale lavoro).
P. es. ilTricomi (l. c. in (9), cap. IV, § 7), nel caso dell'equazione (*)y∂z/∂x 2+∂2z/∂y2=0, suppone che la funzionel(t) sia della forma:l(t)=y(t)x(t), dovex(t) è sempre finita e continua, ex=x(t),y=y(t) sono le equazioni parametriche dellacurva normale dell'equazione (*).
M. Cibrario, l. c. in (1), § 1, T. III, p. 125, e § 3, T. VI, p. 133.
Nei punti non posti sull'assex il risultato segue dai teoremi generali per le equazioni di tipo ellittico; nei punti dell'assex il risultato è stato dimostrato dalGellerstedt (l. c. in (4), § 1, p. 8) ed è conseguenza del fatto che un integrale della (A), all'interno di un dominio normale, si può porre sotto la forma (18).
M. Cibrario, l. c. in (4); v. l'introduzione.
M. Cibrario,Primi studii intorno alle equazioni lineari alle derivate parziali del secondo ordine di tipo misto iperbolico-paraboliche, « Rendic. del Circolo Mat. di Palermo », t. LVI (1932), pp. 385–418.
M. Cibrario, l. c. nella nota precedente, § 4, form. (E) p. 402.
Tale dominio è quello stesso, considerato dalTricomi nel casoh=1 (l. c. nella nota (9)) e dalGellerstedt (Sur un problème aux limites etc., « Thèse », Upsala 1935; e:Quelques problèmes mixtes pour l'équation ymzxx+zyy=0, « Arkiv », B. 26 A, n. 3, pp. 1–32). Le considerazioni, che stiamo per fare, hanno un carattere differente da quelle dei due autori citati.
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Cinquini-Cibrario, M. Sull'analiticità degli integrali di alcune equazioni del primo tipo misto. Annali di Matematica 19, 51–79 (1940). https://doi.org/10.1007/BF02410540
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