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Literatur
Man kann sich das betreffende Glied abgesehen von den constanten Coefficienten als durch Entwicklung von Producte der Form:\(\cos p\left[ {\left( {I - \varsigma } \right)nt + G} \right]\cos q\left[ {\left( {I - \varsigma '} \right)n't + G'} \right]\sin m\left[ {\left( {n - n'} \right)t + H} \right]\) entstanden denken. Es bedeuten hier:p, q undm ganze, positive Zahlen,G, G′ undH constante Winkelgrössen, und endlich δ und δ′ kleine Grössen von der Ordnung der störenden Kraft. Es findet sich hieraus das Argument:\(\left[ {m - p\left( {I - \varsigma } \right)} \right]nt - \left[ {m + q\left( {I - \varsigma '} \right)} \right]n't + mH - pG - qG'\) woraus folgt, dass nachstehende Gleichstellungen gemacht werden können:\(\begin{gathered} s_{r'} = m - p \hfill \\ s_{r'} = m + q \hfill \\ B_{r'} = mH - pG - qG' \hfill \\ \sigma _{r'} = p\varsigma + q\varsigma ' = \frac{I}{2}\left( {p + q} \right)\left( {\varsigma + \varsigma '} \right) + \frac{I}{2}\left( {p - q} \right)\left( {\varsigma - \varsigma '} \right) \hfill \\ \end{gathered} \) Weil nun die ganzen Zahlenp undq an die obigen Bedingungen gebunden sind und also nicht beliebige Werthe annchmen können, so ist ein sehr kleiner Werth von\(\sigma _{r'} \) wenig wahrscheinlich.
In unserm Planetensysteme würde die Ordnung des auf ein kritisches Glied folgenden charakteristischen Gliedes sich wenigstens auf mehrere Hunderte belaufen.
Bihang till K. Svenska Vetenskaps-Akademiens Handlingar. 1886.
Mécanique céleste. T. IV, p. 66, éd. 1880.
Ausdrücke der im Texte angeführten Gattung finden sich, so viel ich weiss, zum ersten Male in einer Abhandlung von HerrnC. O. Meyer, Crelle's Journal, B. 56.
Hansen,Auseinandersetzung einer zweckmässigen Methode zur Berechnung der absoluten Störungen der kleinen Planeten, I, p. 187. Möglicherweise sieht er die Begründung in einer ähnlichen Bemerkung, wie derjenigen, welche man hierauf bezüglich in dem Werke des HerrnA. Gautier,Essai historique sur le problème des trois corps, findet. Es handelt sich hier um die Integration einer Gleichung der Form:\(\frac{{d^2 u}}{{dt^2 }} = - \beta u + \frac{{d^2 \psi }}{{dt^2 }}\) Durch Näherungen findet sich:\(u = k sin\left( {t\sqrt \beta + h} \right)\frac{I}{\beta }\frac{{d^2 \psi }}{{dt^2 }} - \frac{I}{{\beta ^2 }}\frac{{d^4 \psi }}{{dt^4 }} + ...\) wobeik undh die Integrationsconstanten bezeichnen. Die angeführte Reihe convergirt offenbar, wenn die Perioden der Glieder in Φ sehr lang im Vergleich zu der des ersten Gliedes sind. Hierbei darf aber β nicht beliebig klein sein, wenn die Glieder in Φ gegeben sind, und weil die Libration das erste Glied der obigen Reihe ist, so folgert man, dass sic nur bei nicht zu kleinem Werthe von β stattfinden kann. Die erwähnte Schlussfolgerung ist indessen sehr mangelhaft, weil sie weder auf die Glieder kurzer Periode, noch auf die Glieder, welche mitu 3,u 5, u. s. w. multiplicirt sind, Rücksicht nimmt. Eine eingehendere Untersuchung dieser Art wird oben im Texte gegeben.
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Gyldén, H. Untersuchungen Über die Convergenz der Reihen Welche zur Darstellung der Coordinaten der Planeten. Acta Math. 9, 185–294 (1887). https://doi.org/10.1007/BF02406738
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