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Literatur
Am einfachsten leitet man zuerst mittelst (2), (3) die dritte und vierte der Formeln (1) her. Die beiden ersten folgen dann leicht aus (6) §2.
Hermite, Comptes rendus, tome LVII, 21 déc. 1863.
Vgl.Dedekind:Ueber die elliptischen Modulfunctionen, Journal f. Mathematik, Bd. 83.
Dass ein solches Zahlensystemx, y immer existirt, ist leicht einzusehen; deen istp irgend eine inn aufgehende Primzahl, so kann man zunächst die beiden Zahlenx p , yp so wählen, dass ax p+cy p b x p+dy p nicht beide durchp teilbar sind, und wenn man dannx≡x p ,y≡y p , (modp);x≡x p′ ,y≡y p′ , (modp′), ... setzt für alle inn aufgehenden Primzahlenp, p′, ... so genügen diese Werte der gestellten Forderung (Vgl.Königsberger,Ellipt. Functionen, II, S. 93).
Vgl.Dedekind, Journal f. Mathematik, Bd. 83, S. 266.
Die vonDedekind l. c. Journal f. Mathematik, Bd. 83, S. 266 eingeführte Valenz, val (w) ist nach dieser Bezeichnung\(\frac{I}{{27.64}}j\); dieselbe Bedeutung hat das vonKlein in seines Untersuchungen benutzte ZeichenJ (Mathematische Annalen, Bd. XIV, S. 112).
Abel, Oeuvres éd.Sylow I, S. 292.
Auf der Benutzung dieses Umstandes beruht der Fortschritt, denJacobi gege über der erstenAbel'schen Lösung des Teilungsproblems gemacht hat.Abel, Oeuvres éd.Sylow I, S. 294.Jacobi, gesammelte Werke, S. 243, 403.
Die Monodromiegruppe der Teilungsgleichung ist vonC. Jordan untersucht, welcher auch den in No. 5 behandelten Teil der Frage, nach der algebraischen Gruppe zuerst erledigt hat. (Traité des substitutions, S. 342.) Die vollständigeGalois'sche Gruppe der teilungsleichung ist zuerst vonSylow auf einem von dem unsrigen verschiedenen Weg bestimmt worden. (Forhandlinger i Videnskabs-Selskabet i Christiania, 1871.) Derselben Frage ist endlich eine Arbeit vonKronecker in den Monatsberichten der Berliner Akademie vom 19 Juni 1875 gewidmet.
Functionen dieser Art sind auch dann Wurzeln von Transformationsgleichungen, wenns nur die zun teilerfremden Zahlen der Reihe I bisn-1 durchläuft. Solche Transformationsgleichungen sind bis jetzt noch wenig oder nicht untersucht.
Vgl. über diesen Satz:Schering undKronecker Monatsberichte der Berliner Akademie v. 22tem Juni 1876, ferner den ganz elementaren Beweis vonSchering in den Acta mathematica I. Der Satz selbst lautet: Sindh, n relative Primzahlen, die letztere ungerade, und ist μ die Anzahl derjenigen unter den Zahlen\(h, 2h, 3h,...,\frac{{n - I}}{2}h\) deren absolut kleinster Rest (modn) negativ ist, so ist\(\left( { - I} \right)^\mu = \left( {\frac{h}{n}} \right)\).
Diese Gleichung lässt sich leicht auch direct beweisen. (Vgl.Dedekind,Modulfunctionen, l. c. Journal f. Mathematik, Bd. 83, S. 288.)
Die Transformationsgleichung fürP 00 ist zuerst vonSchläfli untersucht (Journal für Mathematik, Bd. 72, S. 368). Die Function P10:P00 führt auf dieJacobi'sche Modulargleichung. Die Bestimmung der Vorzeichen in diesen Formeln führen wir hier nicht weiter aus, da wir keinen Gebrauch von denselben machen werden.
Gleichungen dieser Art sind vonF. Klein (l. c.) undKiepert (Journal für Mathematik, Bd. 87, 88, 95) untersucht.
Nach Analogie der Zahlentheorie würde eine solche algebraische Function als eineEinheit zu bezeichnen sein.
Vgl.Dedekind,Modulfunctionen, § 7, l. c. Journal f. Mathematik, Bd. 83, S. 266.
29 Oct. 1857, 26 Juni 1862, 22 Januar 1863, 1 Dec. 1870, 19 Juli 1875. 16 Apr. 1877, 2 Febr. 1880, 7 Dec. 1882.
Ist z. B.x 2+Δy 2=u 2 ein Quadrat undP eine inn aber nicht inx und folglich auch nicht in y aufgehende Primzahl und ξ relativ prim zup, so ist (x+ξp)2+Δy 2 durchp, aber nicht durchp 2 teilbar und also gewiss kein Quadrat, und man kann über ζ noch so verfügen, dassx+ξp undy relativ prim sind.
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Weber, H. Zur Theorie der Elliptischen Functionen. Acta Math. 6, 329–416 (1885). https://doi.org/10.1007/BF02400423
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DOI: https://doi.org/10.1007/BF02400423