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Literatur
Obige Einleitung setzen wir im § 3 fort.
Trivial kann man (2) so befriedigen, dass man fürS einen Unterring vonT nimmt, der alle Koeffizienten von denf(x) enthält.
Nennen wir einen RingS mitS≈R einen homomorphinversen Ring vonR. Obige Bemerkung lässt sich auch so aussprechen, dass durch die Polynome mit Koeffizienten in einem homomorphinversen Ringe vonR nur solcheR-Funktionen dargestellt werden, die auch schon durch dieR-Polynome geliefert sind. Eben deshalb wird für uns der FallT⊃S≈R von Wichtigkeit, dann ist nämlich die Möglichkeit für solcheT-Polynome vorhanden, dieS-haltend aber keineS-Polynome sind, und somit eventuellR-Funktionen ausserhalbR([x]) darstellen.
Wir nennenp e einen maximalen Primzahlpotenzfaktor vonm, wennp e|m,p e+11m gilt, wofür wir auchp e ||m schreiben.
Übrigens wird aus dieser ersten Behauptung des Satzes 3 in dieser Arbeit nur beim Beweis vom Satz 9 Gebrauch gemacht. Der Leser also, der sich für den Beweis des Satzes 9 nicht interessiert, mag den schwierigsten § 7 dieser Arbeit (der den Beweis der ersten Behauptung vom Satz 3 enthält) ruhig übergehen und statt dessen nur die Bemerkung14 (den einfachen Beweis der zweiten Behauptung in Satz 3) lesen.
Sind alle Elemente eines RingesR von endlicher Ordnung inR +, und haben diese Ordnungszahlen ein (endliches) Maximumm so nennen wirm die Charakteristik vonR. Gleich hier vereinbaren wir uns, dass wirR einen «p-Ring» nennen, wennR + einep-Gruppe ist, d. h. wenn jedes Element inR + eine Potenz einer und derselben Primzahlp zur Ordnung hat. Unter einem «zyklischen Ring» verstehen wir einenR mit zyklischer additiver GruppeR +.
Vgl. Satz 14, § 11.
JedesK-Polynomf(x) lässt sich in der Form\(\frac{{h(x)}}{b}\) schreiben, wobeih(x) einG-Polynom undb eine ganze Zahl ist, die wir als den «Nenner» vonf(x) bezeichnen. (Dieser ist offenbar nicht eindeutig bestimmt). Stelltf(x) eine ℜ(p e)-Funktion\(\tilde f\) dar, dann lässt sich eine ganze Zahla≡1 (modp e) so bestimmen, dass das Polynomaf(x) (welches offenbar dieselbe\(\tilde f\) darstellt wief(x)) einen Nennerp k hat. Daraus folgt, dass der kleinstmögliche Nenner einesf(x), das eine angegebene\(\tilde f\) darstellt, notwendig eine Potenz vonp sein muss.
Eine andere, viel kompliziertere Form von Satz 10 findet sich beiA. J. Kempner, Polynomials and their residue systems, Trans. Amer. Math. Soc., 22 (1921), 240–288 (insbesondere Satz XIII, S. 283, ausserdem Satz V und (5), S. 261).
Das Produkt (17) lässt sich mit dem Faktor\(\frac{m}{{(m,(m_0 - 1)!)}}\) abbrechen, wobeim 0 die kleinste natürliche Zahl mitm!m 0! bezeichnet. — Bezeichnen wir (17) mit (m). Dies ist offenbar eine «multiplikative» Funktion, d. h. es gilt (m)=(P 1)...(P k), wobei dieP i dasselbe bedeuten wie in (14). Ferner gilt nach (17)(m)|m m; ((m)−m m gilt dann und nur dann, wennm=p ist). Folglich ist (17) stets ein Teiler von (14), beide Zahlen sind gleich dann und nur dann, wennm eine quadratfreie Zahl ist.
S. z. B. L. Rédei, Über einige merkwürdige Polynome in endlichen Körpern mit zahlentheoretischen Beziehungen, Acta Sci. Math. (Szeged), 11 (1946), 39–54, insb. S. 50, (64).
Die zweite Behauptung des Satzes 3 kann man unmittelbar aus (40) sehr einfach (ohne § 7), wie folgt, gewinnen. Da\(p|\left( {\begin{array}{*{20}c} {p^e } \\ k \\ \end{array} } \right)(1 \leqq k \leqq p^e - 1)\) ist, gilt im Fallm=p e nach (40)p|Δpee d. h. nach (38).p|Δpea, wobeia eine beliebigep e-gliedrige ganzzahlige Folge ist. Dann aber folgen aus Δpea=pa′ durch Wiederhohlung dieses Schlusses: Δ2pea=pΔpea′=p 2a″,...,Δepea=p ea(e mit ganzzahligena ′,...,a (e). Somit giltp e|Δepe, w. z. b. w.
Denn nach (39) kann das Glied 1 zuerst aus dern 1-ten Differenzenfolge fehlen.
Das sieht man so ein. Diea i (i=0,...,m−1) lassen sich nacheinander gegen solchea ′i =a i +mx i (x i ∈G) austauschen, für die die entsprechende Kongruenz (16) schon modi! gilt. Die lineare Kongruenz\((mx_i + a_i ) - \left( {\begin{array}{*{20}c} i \\ 1 \\ \end{array} } \right)a'_{i - 1} + ... + ( - 1)^i a'_0 \equiv 0{\text{ }}(\bmod i')\) lässt sich nämlich wegen (16) für das Unbekanntex i auflösen.
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Die erste Mitteilung ist ebenfalls in diesen Acta (Bd. 79, 291–320) erschienen und wird mit I zitiert. Die vorliegende Arbeit steht mit I in engem Zusammenhang, ist trotzdem auch selbständig zu lesen. Hier arbeiten wir mit anderen Mitteln als in I, beide Methoden scheinen einander glücklich zu ergänzen, denn keine scheint allein fähig zu sein zu allen unseren Resultaten (in I–II) zu verhelfen, auch lassen sich beide gewiss noch weiter ausbeuten. Mehrere Resultate von I gewinnen wir hier einfacher wieder, teils verallgemeinert oder verschärft; auch die in I offen gebliebene Fragen werden wir hier grösstenteils beantworten.
Die letzte Formel in I, S. 320 enthält einen Druckfehler, die Berichtigung s. hier im Satz 9.
In I haben wir das Zeitwort «darstellen» falsch konjugiert (man lesc «stellt dar» statt «darstellt» usw.).
Es entglitt unserer Aufmerksamkeit, dass den in I, S. 294 zitierten Satz ausser Nagell auch schon Pólya hatte:G. Pólya, Rend. Circ. Mat. Palermo 40 (1915), 1–16.
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Rédei, L., Szele, T. Algebraisch-Zahlentheoretische Betrachtungen Über Ringe. II. Acta Math. 82, 209–241 (1950). https://doi.org/10.1007/BF02398278
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DOI: https://doi.org/10.1007/BF02398278