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References
Comptes Rendus, juillet 1884.
Comptes Rendus:Gambier, 18 juin, 25 juin et 12 novembre 1906;Painlevé, 24 décembre 1906.
M. Painlevé a exposé ses recherches dans des Communications à l'Académie des Sciences de Paris, dans un mémoire desActa Mathematica (1902), et dans un article duBulletin de la Société Mathématique de France (tome XXVIII).
Pour qu'une équation du second ou du troisième ordre ait ses points critiques fixes, il est nécessaire que son équationsimplifiée, c'est-à-dire l'équation obtenue en y remplaçantx parx 0 +ax, et en faisant tendrea vers zéro, ait son intégrale générale uniforme. L'équation simplifiée a la forme indiquée dans le texte, si l'équation complète a la formey‴=R(y″, y′, y, x), R désignant une fonction rationnelle dey″, y′, algébrique dey, analytique dex. La considération des équations simplifiées permet de classer les équations à points critiques fixes.
Comptes Rendus, 29 juillet 1907, 16 novembre 1908.
Comptes Rendus, 2 octobre 1905.
Atti del IV Congresso Internazionale dei Matematici (Roma, 1908), vol. II, p. 64.
Pourn=−2,h peut être nul, mais non égal à 1.
Nous désignons d'une façon générale dans cette étude parA, B, C, D des constantes d'intégration, et par α, β, γ,... λ des constantes numériques.
Pourn=−2, la relation entre l'équation (9) et l'équation linéaire du système (10) est bien connue. Pourn≠−2, si l'équation simplifiée est de la première catégorie, l'équation linéaire est encorenormale, suivant le terme deM. Poincaré: la différence des racines de l'équation déterminante relative à chaque pôle est nulle, ou est une partie aliquote de l'unité, d'après les relations\(r_2 - r_1 = \frac{{n + I}}{n}\left( {\frac{I}{{N_1 }} - \frac{I}{{N_2 }}} \right) = \frac{I}{{N_1 }}\). La variablex est encore fonction unforme du rapport des intégrales de l'équation linéaire; et d'après l'équation\(\sum {\frac{{\text{I}}}{{N_1 }} = h - 2} \), cette fonction uniforme est une fonction fuchsienne dégénérée. VoirActa mathematica, t. IV, p. 226.
Voir le no 12.
On voit nettement ici que cette sorte de calcul revient à la formation de l'équation aux variation deM. Poincaré (ou de l'équation auxiliaire deM. Darboux) relative à une intégrale particulière connue. Voir le no 25.
Voir le no 12, voir aussi le no 18.
Acta mathematica, 1910.
Comptes Rendus, 24 décembre 1906.
Acta mathematica, 1904.
Cf.Klein,Vorlesungen über das Icosaeder, p. 57.
Id. p. 51, 54, 57.
Comptes Rendus, 4 avril 1881.
Halphen a donné la représentation d'un système particulier d'intégralesy 1,y 2,y 3 au moyen de séries de la théorie des fonctions elliptiques (Comptes Rendus, 13 juin 1881): on en déduit un développement à loi de récurrence simple qui représente une intégrale de l'équation III.
Journal de Crelle, t. 36.
VoirAppell,Journal de Liouville, 1889;Darboux,Théorie des Surfaces, t. IV, note VI. Dans le 623 cahier duJournal de l'Ecole Polytechnique,M. R. Liouville intègre par une quadrature l'équation renfermant les mêmes termes que l'équation (31), sous deux conditions entre les six coefficients: parmi les quatorze équations réduites de la forme (17) que nous avons à considérer, les équations VIII et XIII sont les seules dont les équations transformées satisfont aux deux conditions deM. Liouville.
Acta mathematica, 1902, p. 74, 78.
Cf.Picard,Traité d'Analyse, t. III, p. 70.
Le cas où toutes les intégrales de l'équation (32) sont algébriques peut soulever des difficultés analogues à celles que nous signalons plus loin. Remarquons que, dans ce cas, toute intégrale généraleu(x) de l'équation simplifiée correspondante est fonction rationnelle dex, ou dee αx, ou fonction elliptique dex, ou de α logx+β, α et β désignant des constantes. Tels sont en effet les résultats obtenus parM. Picard dans la détermination des équations de la formeu″=u ′2 a(u), a(u) désignant une fonction algébrique deu, dont l'intégrale générale est uniforme, avec cette restriction que la fonctione ∫a(u)du n'ait pas de points singuliers transcendants (Traité d'Analyse, t. III, p. 66).M. Painlevé a établi que les résultats deM. Picard sont encore complets si l'on lève cette restriction.
VoirDrach,Thèse, Paris 1898;Painlevé, Conférence faite au Congrès d'Heidelberg, 1904.
Cf. no 16.
Journal de Crelle, 1889.
Bulletin de la Société Mathématique de France, t. XXVIII, p. 274.
VoirBoutroux,Leçons sur les fonctions définies par les équations différentielles du premier ordre p. 95 et suiv.
Dans lesLeçons sur les fonctions définies par les équations différentielles du premier ordre,M. Boutroux étudie les intégrales des équations de la forme (32), quand ces intégrales acquièrent une infinité de déterminations autour des points critiques mobiles. Sur des exemples simples, et par application systématique de la méthode de continuitéM. Boutroux étudie la fonction multiforme en elle-même, les points critiques, les permutations de ses déterminations. Les recherches deM. Boutroux apportent une contribution utile à l'étude de l'équation (37), et par suite à celle de l'équation (18).
Toutefois on utilise une proposition d'une nature un peu différente:m etn désignant deux nombres entiers, si les fonctionsy m, (y−I)n sont analytiques et uniformes dans un certain domaine, la fonctiony est elle-même uniforme dans ce domaine.
Les nombres 5 et 10 sont en désaccord avec un nombre donné parM. Painlevé (Acta mathematica, 1902, p. 73), et qui est exact si l'on considère des équations dont l'intégrale générale et l'intégrale singulière ont leurs points critiques fixes. Nous adoptons ici une hypothèse plus rationnelle: les intégrales singulières de deux équations transformées algébriques de même ordre ne se correspondent pas par la transformation; il se peut que l'une des équations ait une intégrale singulière, et que l'autre n'en ait pas.
Painlevé,Notice, p. 75.
Voir dans lesLeçons de Stockholm, p. 440, quelques points de comparaison entre les fonctions qui possèdent un point essentiel isolé, celles qui possèdent une coupure, et celles qui admettent un ensemble parfait discontinu de points singuliers.
Nons désignons par ε, ε1, ε2, ε3 des quantités positives ou négatives dont on peut rendre les valeurs absolues aussi petites que l'on veut, en choisissantA assez grand,r assez petit etx assez proche deX sur le cheminl.
Cette démonstration est à un double point de vue une extension de celle queM. Painlevé a constituée pour les équations (A); en définitive l'une et l'autre sont fondées sur le théorème deCauchy, sur le théorème deM. Poincaré qui exprime la continuité des intégrales d'un système différentiel en fonction d'un paramètre contenu dans ce système, et par suite en fonction des conditions initiales, et sur la considération des dérivées logarithmiques, qui joue un rôle essentiel dans toutes les questions de croissance. Dans la deuxième partie, nous démontrons que, le pointX étant supposé transcendant pour l'intégraley(x), il existe des chemins de longuer finie aboutissant au pointX, sur lesquels l'intégraley(x) n'est pas complètement indéterminée. Cette partie de la démonstration n'est pas applicable à l'équation différentielle classique que vérifient les fonctions funchsiennes et kleinéennes (cette équation ne peut être transformée en un système de la forme (E 2), holomorphe pourz=0): nous avons vu qu'on ne doit pas s'en étonner. La deuxième partie de la démonstration est applicable au contraire à l'équationy"'=2yy"−3y' 2, et à l'équation XII: elle permet de montrer que, pour l'intégrale générale de chacune de ces équations, il existe des chemins de longuer finie aboutissant en un point quelconque de la coupure, et sur lesquelsy tend vers l'infini. D'une façon générale, la deuxième partie de la démonstration, en raison du rôle qu'y joue l'équation simplifiée, permet de préciser la relation qui existe entre les singularités de l'intégrale de l'équation simplifiée et les singularités de l'intégrale de l'équation complète. Voir no 18.
A la vérité l'intégrale générale de l'équationyIV=2y'y"'−3y" 2, que nous écartons ici, n'a pas de points critiques mobiles, mais elle admet, pour certaines valeurs des constantes d'intégration, une ligne critique mobile (et le point critiquex=∞). Quand la ligne critique, qui est circulaire, se réduit à un point, l'intégrale générale se réduit à une intégrale particulière qui a un point critique mobile. Voir no 12.
Comptes Rendus, 8 février 1904.
On peut dire encore que le premier membre de l'équationI n vérifie l'équation aux dérivées partielles qui exprime qu'un invariant est fonction des différences des racines de la forme dont il dérive: on retrouve ainsi les quatre conditions énoncées parM. Stephanos dans une Communication au Congrès de Rome (Atti, vol. II, p. 148). Au contraire l'équation (25) rentre dans le premier cas considéré parM. Stephanos (ibid., p. 145). Tandis que les équationsI 4 s'intègrent par quadratures, l'intégration de l'équation (25) dépend de l'intégration d'une équation linéaire du second ordre.
Comptes Rendus, 10 novembre 1902.
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Chazy, J. Sur les équations différentielles du troisième ordre et d'ordre supérieur dont l'intégrale générale a ses points critiques fixes. Acta Math. 34, 317–385 (1911). https://doi.org/10.1007/BF02393131
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DOI: https://doi.org/10.1007/BF02393131