On orthogonal polynomials

Abstract

Пустьw(х)∈L[-1, +1] — неотрица тельная функция така я, что

$$\frac{{\log ^ + \frac{1}{{w(x)}}}}{{\sqrt {1 - x^2 } }} \in L[ - 1, + 1]$$

и пусть {(р _n (х)} — много члены, ортогональные и нормированные с весо мw(x). Мы доказываем следующие две теорем ы, являющиеся обобщен ием одного известного результа та Н. Винера. I. Для каждого δ, 0<δ<1, суще ствует числоB=B(δ, w) тако е, что если

$$f_N (x) = \sum\limits_{j = 1}^N {a_j p_{v_j } (x)} $$

причем выполнено сле дующее условие лакун арности

$$\begin{gathered} v_{j + 1} - v_j \geqq B(\delta ,w) (j = 1,2,...,N - 1), \hfill \\ v_1 \geqq B(\delta ,w) \hfill \\ \end{gathered} $$

, то для некоторого С(δ, w) и всехh и δ, для которых

$$ - 1 \leqq h - \delta< h + \delta \leqq + 1$$

, имеет место неравенс тво

$$\int\limits_{ - 1}^1 {|f_N (x)|^2 w(x)dx \leqq C(\delta ,w)} \int\limits_{h - \delta }^{h + \delta } {|f_N (x)|^2 w(x)dx} $$

каковы бы ни былиa _j ,N и h. II. Если формальный ряд

$$\sum\limits_{j = 1}^\infty {b_j p_{\mu _j } (x)} $$

удовлетворяет услов ию лакунарности μ_j+1-μ_j→∞ и суммируем, например, м етодом Абеля на произвольно малом отрезке [а, Ь] ⊂[0,1] к ф ункцииf(x) такой, что$f(x)\sqrt {w(x)} \in L_2 [a,b]$, то

$$\sum\limits_j {|b_j |^2< \infty } $$

Теорема I — это первый ш аг в направлении проб лемы типа Мюнтца-Саса о замкнут ости подпоследовательно сти pv_j(x)} последовател ьности {р_n(х)} на отрезке [а, Ь] в метрике С[а, Ь] (см. теорему II стать и).