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Zur linearen Theorie schwerebedingter Oberflächenwellen in einem zähen Medium begrenzter Tiefe

On the linear theory of gravity surface waves in a viscous medium of a limited depth

Au sujet de la théorie linéaire d’ondes de surface soumises à la pesanteur dans un milieu visqueux de profondeur finie

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Deutsche Hydrografische Zeitschrift Aims and scope Submit manuscript

Zusammenfassung

Die Untersuchung befaßt sich mit einer periodischen Lösung der Navier-Stokesschen Bewegungsgleichungen. Zu diesem Thema existieren bereits mehrere Veröffentlichungen, deren Ergebnisse in der hier vorgelegten Abhandlung für den Spezialfall rein zeitlicher Dämpfung erweitert werden. Dabei wird die Geschwindigkeitsverteilung im Medium abgeleitet; einige Rechenbeispiele werden besprochen. Die kinetische Energie ist auch für diesen Wellentyp gleich der potentiellen. Für die Verlagerungsgeschwindigkeit der Wellenenergie wird eine Formel abgeleitet. Energie- und Gruppengeschwindigkeit sind nicht gleich. Wellengruppen können nicht als abgeschlossene Energiepakete betrachtet werden, sondern laufen ineinander.

In einem Anhang wird ein qualitativer Konvergenzbeweis für ein Iterationsverfahren erbracht, das zur Berechnung bestimmter Konstanten des Modells angewendet wird.

Summary

A periodical solution of the Navier-Stokes equations of motion is applied to the special case of damping only in time. In this context, the velocity distribution in the medium is derived; some arithmetical problems are discussed. For this type of wave, too, the kinetic energy is equal to the potential one. For the dislocation velocity of the wave energy a formula is derived. Energy and group velocities are not the same. Wave groups cannot be regarded as self-contained energy packets but they converge.

In an appendix a qualitative convergency proof is adduced for an iteration method which is used for computing certain constants of the model.

Résumé

Une solution périodique de l’équations de mouvement de Navier-Stokes a été appliquée au cas spécial d’un amortissement uniquement fonction du temps. D’où l’on tire une distribution des vitesses dans le milieu considéré. Quelques examples de calcul sont discutés. Pour ce genre d’ondes aussi les énergies cinétique et potentielle sont égales. On en déduit une formule pour la vitesse de propagation de l’énergie transportée. La vitesse de l’énergie n’est pas égale à la vitesse de groupe. Les groupes d’ondes pénétrent les uns dans les autres et ne peuvent pas être considérés comme des paquets d’énergie isolés.

En annexe on apporte une démonstration qualitative de convergence pour un procédé d’itération utilisé dans le calcul de certaines constantes du modèle.

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Abbreviations

a :

zeitlich variable Amplitude der Oberflächenauslenkung

a 0 :

Anfangswerta zur Zeitt=0

a ij :

i=1…8,j=0…2: Koeffizienten in den Reihenentwicklungen nach ɛ bzw. δ und ξ

A :

Koeffizient im Ansatz für φ

B :

1. Koeffizient im Ansatz für φ 2. mit Indexh, m, ɛ oder ζ: Variationsbereiche

c e :

Energiegeschwindigkeit

c g :

Gruppengeschwindigkeit

C :

Koeffizient im Ansatz für Ψ

Cs :

Funktionsbezeichnungen; s. Gl. (51)

Cs :

Funktionsbezeichnungen; s. Gl. (51)

df :

Oberflächenelement

D :

Koeffizient im Ansatz für Ψ

E k :

kinetische Energie

E p :

potentielle Energie

E :

Gesamtenergie

f :

Funktion der Parameterh, m, ɛ

F :

Energiefluß

g :

1. Schwerebeschleunigung 2. mit Indizesh, m, ɛ, ζ: Untergrenzen der VariationsbereicheB h usw.

G :

mit Indizesh, m, ɛ, ζ: Obergrenzen der VariationsbereicheB h usw.

h :

reduzierte Tiefe

H :

Tiefe des Mediums

i :

imaginäre Einheit

j :

Iterationsparameter

k :

Wellenzahl (Raumfrequenz)

K :

Lipschitz-Konstante

m :

Parameter, abhängig vonh, ɛ

\(\mathop m\limits^ \wedge\) :

Variationswert zum

m j :

Iterationswertem

p :

Druckfunktion (dynamischer Druck dividiert durch die Dichte)

p total :

Gesamtdruck

P :

Operationssymbol

q :

Parameter

q i :

Imaginärteilq

q r :

Realteilq

Q :

Amplitudenfunktion

R :

Raum der Elementem

S :

Funktionsbezeichnung; s. Gl. (70)

Sn :

Funktionsbezeichnungen; s. Gl. (51)

Sn :

Funktionsbezeichnungen; s. Gl. (51)

t :

dimensionsloser Zeitparameter; als Index: partielle Ableitung nacht

T :

Zeit; als Index: partielle Ableitung nachT

u :

Horizontalkomponente der Geschwindigkeit

v :

Vertikalkomponente der Geschwindigkeit

x :

dimensionsloser Parameter zuX; als Index: partielle Ableitung nachx

X :

Horizontalkoordinate; als Index: partielle Ableitung nachX

z :

dimensionsloser Parameter zuZ; als Index: partielle Ableitung nachz

Z :

Vertikalkoordinate; als Index: partielle Ableitung nachZ

α:

räumliche Dämpfungskonstante

β:

zeitliche Dämpfungskonstante

δ:

skalarer Entwicklungsparameter; s. Gl. (34)

Δ:

Laplace-Operator

Δα:

Differenz benachbarter Werte α

Δk :

Differenz benachbarter Wertek

Δω:

Differenz benachbarter Werte ω

ɛ:

komplexer Entwicklungsparameter; s. Gl. (35)

ζ:

Funktionsbezeichnung; s. Gl. (30)

ζj :

Iterationswerte ζ

η:

Oberflächenauslenkung

ϑ:

Phasenkonstante

Θ:

z-abhängiger Faktor im Produktansatz für Φ

λ:

Wellenlänge

μ:

x-t-abhängiger Faktor im Produktansatz für Φ

ν:

kinematische Zähigkeit

ξ:

Funktionsbezeichnung; s. Gl. (45)

ϱ:

Dichte des Mediums

σ:

Zähigkeitsanteil des Spannungstensors

τ:

Kurzbezeichnung fürth(h)

φ:

m-unabhängiger Teil der Funktion θ

Φ:

Stromfunktion

Ψ:

m-abhängiger Anteil der Funktion θ

ω:

Kreisfrequenz (Zeitfrequenz)

ω0 :

ω-Wert der Oberflächenwellen im idealen Medium

\(\mathfrak{v}\) :

Geschwindigkeitsvektor

\(\mathfrak{n}\) :

Normaleneinheitsvektor

▽:

Nabla-Operator

\((\triangledown \mathfrak{v})\) :

Transponierte zu\((\triangledown \mathfrak{v})\) Querstrich über Funktionssymbol: konjugiert komplexe Größe

Schrifttum

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  1. Jürgen Piest
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Piest, J. Zur linearen Theorie schwerebedingter Oberflächenwellen in einem zähen Medium begrenzter Tiefe. Deutsche Hydrographische Zeitschrift 19, 58–73 (1966). https://doi.org/10.1007/BF02317967

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  • DOI: https://doi.org/10.1007/BF02317967

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