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Monatshefte für Mathematik und Physik

, Volume 36, Issue 1, pp 411–432 | Cite as

Zur Dimensions-und Kurventheorie

Unveröffentlichte Aufsätze aus den Jahren 1921–23
  • Karl Menger
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References

  1. 1).
    Diese Note bildete den Inhalt eines bei der Wiener Akademie der Wissenschaften im Herbst 1921 hinterlegten versiegelten Schreibens.Google Scholar
  2. 2).
    Dieser (in der vorangehenden Note angekündigte) Aufsatz wurde um die Jahreswende 1921/22 bei den Monatscheften für Mathematik und Physik eingereicht.Google Scholar
  3. 3).
    Brouwer, Math. Ann., 71.Zusatz bei der Herausgabe: Brouwers Note in Crelles Journal, 142 (1913), die an die in Fußnote 15 zur vorliegenden Arbeit erwähnten Poincaréschen Ansätze anknüpft, war dem Verfasser bei Abfassung dieses Aufsatzes unbekannt.Google Scholar
  4. 4).
    Peano, Math. Ann., 36 (1890), 157.Google Scholar
  5. 5).
    Jordan, Cours d'Analyse, 1909, I, 90.Google Scholar
  6. 6).
    Lennes, Am. Journ., 33 (1911), S. 3.Google Scholar
  7. 7).
    Wir nennen Kontinuum eine abgeschlossene zusammenhängede Menge (vgl. Carathéodory, Vorlesungen über reelle Funktionen, S. 208), wobei wir stehende MengeA verstehen, die nicht Summe zweier nicht leerer inA abgeschlossener Teile ist.Google Scholar
  8. 8).
    Ein Punktt der Begrenzung der KomponenteC einer MengeA ist weder innerer Punkt des Komplementes vonA, noch vonA, gemäß der Definition von Komponente. (Vgl. Hahn, Theorie d. reellen Funktionen, I, S. 86.)Google Scholar
  9. 10).
    Unter den obigen Kurvenbegriff fällt z. B. folgendes Gebilde: DieX-Achse und alle Strahlen durch den Ursprung mit einer Richtungstangente von 1/n (n=1, 2, ...). Gewiß wird nicht jeder dieses Gebilde als Kurve zu bezeichnen geneigt sein; wenn aber seine Kurvennatur zugestanden wird, so ist nicht einzusehen, warum dieselbe durch Tilgung derX-Achse mit Ausmahme des Ursprunges verloren gehen soll, während das so entstehende Gebilde nicht mehr unter den obigen Kurvenbegriff weit allgemeiner ist, als die Kurvenvorstellung der einen, wäre man, um den ganzen Vorstellungsinhalt anderer zu umfassen, genötigt, z. B. statt der Abgeschlossenheit von der Kurve bloß eine „Abgeschlossenheit im kleinen” zu verlangens, daß sie nämlich alle regulären Häufungspunkte ihrer abgeschlossenen Hülle enthält, wobei unter regulärem Punkt nach der Hahnschen Terminologie [H. Hahn, Jahresber. Math. Ver., 23 (1924) 319] ein solcher zu verstehen ist, in dem die Menge zusammenhängend im kleinen ist. Mit dem Zusammenhang im kleinen ist auch die Abgeschlossenheit im kleinen invariant gegenüber eineindeutigen und stetigen Abbildungen. Nach dieser Verallgemeinerung wäre es möglich, daß eine Kurve Primteiler ihrer abgeschlossenen Hülle (vgl. H. Hahn, Wien, Ber. IIa, 130, 1921, S. 8) nicht enthält, welche mehr als einen Punkt enthalten, also Kontinua sind (H. Hahn, a. a. O., S. 8f.). Diese so verallgemeinerte Kurvendefinition begegnet wiederum der Schwierigkeit; daß der Zusammenhang im kleinen bisher auf kompakte Kontinua beschränkt wurde und sich immer noch Vereinigungen abzählbar vieler Lennes-Bogen abgeben lassen, welche auch unter den erweiterten Kurvenbegriff nicht fallen, z. B. die folgende Menge imR 2: Alle abgeschlossenen Strecken, welche den Punkt 0,1 mit den rationalen Punkten des Intervalls [0, 1] auf derX-Achse verbinden.Google Scholar
  10. 11).
    Zusatz bei der Herausgabe: Diese Stelle wurde vom Herausgeber der Monatschefte, Hahn, beanständet und ist der Grund, warum das eingereichte Manuskript nicht sogleich in den Monatsheften abgedruckt wurde. Tatsächlich ist nur eine Hälfte der obigen Behauptung richtig. Es gibt eine zusammenhangslose Menge, von der nicht jeder Punkt in beliebig kleinen Umgebungen enthalten ist, deren Begrenzungen zu M fremd sind, wie z. B. aus Sierpińskis Arbeit (Fund. Math., 2, S. 85) hervorgeht. Die Unmöglichkeit, den obigen Satz korrekt zu beweisen, veranlaßte mich, die zusammenhanglosen Mengen als Ausgangspunkt der Rekursion aufzugeben und statt dessen jene Mengen, deren Punkte in beliebig kleinen Umgebungen mit leeren Begrenzungen enthalten sind, als nulldimensional zu bezeichnen. Auf diese Art wird nämlich die rekursive Dimensionsdefinition, so wie es am Schluß der obigen Arbeit angegeben ist, letzten Endes auf die (−1)-dimensionale leere Menge zurückgeführt, ein Ausgangspunkt, dessen sachliche und ästhetische Vorzüge vor allen anderen Ausgangspunkten inzwischen von mir klargestellt worden sind.Google Scholar
  11. 12).
    Vgl. H. Hahn, Theorie d. reellen Funktionen, I, S. 84.Google Scholar
  12. 13).
    Vgl. H. Hahn, a. a. O., Theorie d. reellen Funktionen, I, S. 85.Google Scholar
  13. 14).
    Zusatz bei der Herausgabe: Eine definitive Verarbeitung des hier angedeuteten Gedankens des Grund-σ-körpers findet sich erst in meiner Arbeit: „Über die Dimension von Punktmengen III” (in diesem Band der Monatshefte), wo derselbe bei der Begründung einer axiomatischen Dimensionstheorie eine Rolle spielt.Google Scholar
  14. 15).
    Einen ählichen Gedanken fand ich nach Abfassung des vorliegenden Aufsatzes, wenn auch mangels des Hilfsmittels der modernen Theorie der Punktmengen unpräzise ausgedrückt, bei Henri Poincaré (Letzte Gedanken, deutsch von Lichtenecker, 1913, S. 64 ff.). Derselbe sagt (a. a. O., S. 65): Ein Kontinuum besitztn Dimensionen, wenn man es in mehrere getrennte Teile zerlegen kann, dadurch, daß man einen oder mehrere Schnitte führt, die selbst Kontinua vonn−1 Dimensionen sind. Die Definition selbst ist heute allerdings unhaltbar, ganz abgesehen davon, daß die Begriffe Kontinuum und Schnitt, welche in dieselbe eingehen, keineswegs einwandfrei festgelegt sind. (Vgl. auch H. Poincaré, Wissenschaft und Hypothese, deutsch von Lindemann, 2. Aufl., 1906, S. 33, und F. Lindemann, Anmerkung 13 daselbst, S. 253 f.).Google Scholar
  15. 16).
    Aus einem Schreiben an den Herausgeber der Monatshefte, Hahn, nom 15. II. 1922.Google Scholar
  16. 17).
    Diese Arbeit, deren erster Teil hier abgedruckt wird, wurde im November 1922 bei den Monatsheften für Mathematik und Physik eingereicht.Google Scholar
  17. 18).
    Im mathematischen Seminar der Wiener Universität, Frühjahr 1921.Google Scholar
  18. 19).
    N. J. Lennes, Am. Journ., 33, 1911.Google Scholar
  19. 20).
    G. Peano, Math. Ann. 36, 1890, S. 157.Google Scholar
  20. 21).
    Der folgenden Arbeit ist die Terminologie von H. Hahn, Theorie der reellen Funktionen, I. Bd., 1921, zugrundegelegt. Vgl. insbes. Kapited I (Punktmengen) und Kapitel II, §§ 6, 7, (über Abbildungen). Die einzige Abweichung von der Hahn schen Terminologie besteht darin, daß wir definieren: Zusammenhängend heißt eine Menge, die mehr als einen Punkt enthält und nicht Summe zweier fremder, nicht leerer, in der Menge abgeschlossener Teile ist. Kontinuum heißt eine zusammenhängende abgeschlossene Menge.Google Scholar
  21. 22).
    Zusatz bei der Herausgabe: Diese Stelle wurde vom Herausgeber der Monatshefte, Hahn, beanständet und ist der Grund, warum das Manuskript nicht sogleich in den Monatsheften zum Abdruck gelangte. In der Tat fand ich (vgl. “Einige Überdeckungssätze der Punktmengenlehre”, Wien. Ber. 1924, S. 421), daß der oben für beliebige Mengen angenommene Überdeckungssatz bloß für Fσ-Mengen allgemein gilt. (Vgl. auch den Anfang der folgenden hier abgedruckten Arbeit “Zur Theorie der Punktmenge II”.) In meinem Buche “Dimensionstheorie” (bei Teubner, 1928) findet man meine diesbezüglichen Ergebnisse (S. 46–49) zusammengestellt. Für die Dimensionstheorie haben diese Überdeckungstatsachen zur Folge, daß der oben für beliebige Mengen ausgesprochene Satz II bloß für Fσ-Mengen und für Mengen, welche der oben verwendeten Überdeckbarkeitsbedingung genügen, allgemein gilt. Eine Zusammenfassung aller meiner Ergebnisse über die dimensionelle Struktur der Mengen enthält das vierte Kapitel meines Buches. Die allen meinen Untersuchungen zugrundeliegende Methode der Modifikation der Umgebungen in der Nähe ihrer Begrenzungen ist aber bereits in dem obigen Beweise meiner Arbeit vom Herbst 1922 voll enthalten.Google Scholar
  22. 23.
    Dieser Aufsatz bildete den Inhalt eines bei der Wiener Akademie der Wissenschaften am 17. XII. 1923 hinterlegten versiegelten Schreibens.Google Scholar
  23. 24).
    Zusatz bei der Herausgabe: a-Vereinigung oder Fσ heißt jede Menge, die Summe von abzählbar vielen abgeschlossenen. Mengen ist.Google Scholar
  24. 25).
    Zusatz bei der Herausgabe: Vgl. meine Fußnote 22 erwähnte Arbeit “Einige Überdeckungssätze der Punktmengenlehre” und mein Buch “Dimensionstheorie”.Google Scholar
  25. 26).
    Zusatz bei der Herausgabe: “Über die Dimension von Punktmengen 1”, Monatshefte 33.Google Scholar
  26. 27).
    Zusatz bei der Herausgabe: d. i. der auf den Abbildungsbegriff gestützten Theorie des Dimensionsbegriffes und der Topologie des Rn.Google Scholar

Copyright information

© Akademische Verlagsgesellschaft M. B. H. 1929

Authors and Affiliations

  • Karl Menger
    • 1
  1. 1.Wien

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