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Computing

, Volume 24, Issue 2–3, pp 97–105 | Cite as

Arithmetic of complex sets

  • K. Nickel
Article

Abstract

Let\(\mathbb{I}\)(ℝ) be the set of all real closed intervals and letΩ1:= {+, −, ×, /} be the set of arithmetic operators of ℝ. By extendingΩ1 from ℝ to\(\mathbb{I}\)(ℝ) as usual one finds that\(\mathbb{I}\)(ℝ) is closed with respect to the operations fromΩ1 (R. E. Moore [9]). In the literature several possibilities are discussed to go over from complex numbers to “complex intervals”: rectangles (Alefeld [1] et al.), discs (Henrici [4] et al.) or ellipses (Kahan [5] et al.). In all three cases the resulting sets are not closed with respect toΩ1, since the multiplication and division of such “intervals” does not lead to sets of the same kind. In what follows the question is treated whether there are classes of complex sets (“generalized intervals”) which are closed with respect toΩ1 or to subsets ofΩ1. One such class is easy to find. Also the shape of the sets involved is discussed. If it is assumed however that the sets under consideration are described by a finite number of parameters then there isno such class closed underΩ1.

Zur komplexen Mengen-Arithmetik

Zusammenfassung

Es sei\(\mathbb{I}\)(ℝ) die Menge reeller abgeschlossener Intervalle undΩ1:= {+, −, ×, /} die Menge der arithmetischen Operationen auf ℝ. Erweitert man dannΩ1 von ℝ auf\(\mathbb{I}\)(ℝ) wie üblich, dann ist\(\mathbb{I}\)(ℝ) abgeschlossen gegenüber den Operationen vonΩ1 (R. E. Moore [9]). In der Literatur werden verschiedene Möglichkeiten vorgeschlagen, um von komplexen Zahlen zu “komplexen Intervallen” überzugehen: Rechtecke (Alefeld [1] et al.), Kreise (Henrici [4] et al.), Ellipsen (Kahan [5] et al.). In allen drei Fällen sind die entstehenden Mengen nicht mehr abgeschlossen gegenüberΩ1, weil die Multiplikation und Division solcher “Intervalle” nicht wieder auf Mengen derselben Art führt. Im folgenden wird die Frage behandelt, ob es Klassen von komplexen Mengen (“verallgemeinerte Intervalle”) gibt, die abgeschlossen sind gegenüberΩ1 oder Teilmengen vonΩ1. Außerdem wird untersucht, welche “Gestalt” solche Mengen besitzen. Während man solche Klassen sofort angeben kann, wird sich zeigen lassen, daß die Abgeschlossenheitnicht mehr erreichbar ist, wenn man noch zusätzlich fordert, daß diese Mengen (nur) durch endlich viele Parameter beschrieben werden.

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Copyright information

© Springer-Verlag 1980

Authors and Affiliations

  • K. Nickel
    • 1
  1. 1.Institut für Angewandte MathematikUniversität Freiburg i. Br.Freiburg i. Br.Federal Republic of Germany

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