A simple proof of the validity of the reduced prs algorithm

Abstract

Given two univariate polynomials with integer coefficients, it has beenrediscovered [2] that the reduced polynomial remainder sequence (prs) algorithm can be used mainly to compute over the integers the members of anormal prs, keeping under control the coefficient growth and avoiding greatest common divisor (ged) computations of the coefficients. The validity proof of this algorithm as presented in the current literature [2] is very involved and has obscured simple divisibility properties. In this note, we present Sylvester's theorem of 1853 [4] which makes these simple divisibility properties clear for normal prs's. The proof presented here is a modification of Sylvester's original proof.

Zusammenfassung

Für zwei gegebene Polynome in einer Variablen und mit ganzzahligen Koeffizienten wurdewiederentdeckt [2], baß der reduzierte prs-Algorithmus hauptsächlich verwendet werden kann, um die Elemente einernormalen prs mit ganzzahligen Operationen zu berechnen, wobei das Anwachsen der Koeffizienten unter Kontrolle gehalten und vermieden wird, Berechnungen vom größten gemeinsamen Teiler der Koeffizienten durchzuführen. Der Beweis für diesen Algorithmus, wie er in der heutigen Literatur [2] präsentiert wird, ist sehr kompliziert und hat einfache Divisionseigenschaften verborgen. In dieser Mitteilung wird das Sylvestertheorem von 1853, welches diese einfache Divisionseigenschaften für normale prs klar macht, dargestellt. Der Beweis, der hier präsentiert wird, ist eine Modifikation von Sylvesters ursprünglichem Beweis.