Padésche Näherungsbrüche und Iterationsverfahren höherer Ordnung

Zusammenfassung

Ausgehend von lokalen rationalen Approximationen vom Typ (m, n) im Sinne vonPadé wird eine Klasse von Iterationsverfahren höherer Ordnung zur numerischen Auflösung von Gleichungen der Formf (x)=0 konstruiert. Fürn=0 ergeben sich speziell dieEhrmannschen Verfahren [3], während die Annäherungen vom Typ (1,n) zu einer neuen Herleitung der Verfahren vonKönig [8] führen. Der Vergleich verschiedener Verfahren, insbesondere im Hinblick auf Einzugsgebiete und Größe der asymptotischen Fehler zeigt die in vielen Fällen günstigen numerischen Eigenschaften der auf diese Weise erhaltenen Verfahren. Die bekannte Erscheinung, daß Approximationen in der Nähe der Hauptdiagonale derPadé-Tafel besonders gute Ergebnisse liefern, kann auch hier beobachtet werden. Schließlich ergibt sich ein Hinweis darauf, wie durch Beachtung funktionentheoretischer Eigenschaften vonf (x) die Auswahl der in gewissem Sinne besten Verfahren erleichtert wird.

Summary

Starting from local rational approximations of type (m, n) in the sense ofPadé, a class of higher-order iteration functions for the numerical solution of equations of the formf (x)=0 is constructed. Special cases aren=0, which results in the method ofEhrmann, andm=1, which leads to a new proof ofKönigs theorem. The comparison of various methods, with special reference to the region of convergence and the asymptotic error constant, demonstrates the frequent efficiency of the iterations obtained in this manner. The well-known fact, that approximation near the principal diagonal of thePadé-table yields expecially good results should also be observed at this point. Finally there is an indication how attention to function-theoretic properties facilitates the selection of, in a certain sense, the most suitable method for a givenf (x).