On the rate of convergence for two-term recursions

Abstract

LetB be a compact interval in ℝ,M=B×B and φ:M→B a map inC ₃ (M). Suppose that ξ is a fixed point of φ. We study the behaviour of the iteratesx _n+2=φ(x _n+1,x _n ) (x ₀,x ₁∈B). Of particular interest is the situation where ϕ _x (ξ,ξ)=ϕ _y (ξ,ξ)=0. In case of the wellknown “Regula falsi” we also have ϕ _xx (ξ,ξ)=ϕ _yy (ξ,ξ)=0 and the order of convergence is$\tfrac{1}{2}(1 + \sqrt 5 )$. We consider the case where ϕ _yy (ξ,ξ)≠0. It turns out that there is a constant γ∈(1,2) such that successive iterates gain factors γ, 2/γ, γ, 2/γ, ... on the number of valid decimals. Depending on the initial iteratesx ₀,x ₁ the number λ may range over all of (1, 2) such that in the extreme cases an additional iterative step may have virtually no effect on the number of correct digits or nearly doubles them.

Zusammenfassung

Es seiB ein kompaktes Intervall in ℝ,M=B×B, und φ:M→B eineC ₃ (M)-Abbildung. Diese habe einen Fixpunkt ξ, d. h. φ(ξ, ξ)=ξ. Wir untersuchen die Konvergenz der Iteriertenx _n+2=φ(x _n+1,x _n ) fürx ₀,x ₁ ∈B gegen ξ. Besonders interessant ist der Fall, daß ϕ _x (ξ,ξ)=ϕ _y (ξ,ξ)=0 ist. Die wohlbekannte “Regula falsi”, bei der überdies ϕ _xx (ξ,ξ)=ϕ _yy (ξ,ξ)=0 ist, hat eine Konvergenzordnung$\tfrac{1}{2}(1 + \sqrt 5 )$. Unsere Untersuchung gilt dem Fall, daß ϕ _yy (ξ,ξ)≠0 ist. Wie sich zeigt, gibt es dann jeweils eine Konstante γ∈(1, 2), abhängig vonx ₀,x ₁, so daß sukzessive Iterationsschritte die Anzahl gültiger Dezimalen um γ, 2/γ, γ, 2/γ, ..., vermehren. Das Intervall (1, 2) läßt sich nicht verkleinern. Es kann sich daher ergeben, daß der jeweils nächste Schritt abwechselnd fast keine Verbesserung der Approximationsgüte erbringt oder die Anzahl korrekter Stellen nahezu verdoppelt.