Some orbital test problems

Abstract

Problems with periodic solutions are convenient as test problems for differential equation software because of the ease with which the accuracy of computed results can be assessed. Even the motion of a single planet around a heavy sun is useful as a test problem because orbits of varying eccentricity make varying demands on numerical software. The orbits discussed here are based on this same simple problem but with the essential difference that the distance from the planet to the sun is based on the norm ‖ . ‖_∞ rather than the usual Euclidean norm ‖ . ‖₂. Specifically, we explore orbits based on each of the differential equation systems

$$X = \nabla \left( {\frac{1}{{\left\| X \right\|}}} \right)$$

and

$$X = - \frac{1}{{\left\| X \right\|^3 }}.$$

A feature of both these systems, when the ‖ . ‖_∞ norm is used, is the occurrence of discontinuities in the higher derivatives of the solution. This is why they have a potential value as difficult test problems. With this application in mind, some periodic solutions are identified. For an arbitrary choice of norm, the second of the two differential equation systems considered in this paper is shown to possess periodic orbits.

Zusammenfassung

Probleme mit periodischen Lösungen eignen sich besonders als Testprobleme für Software zur Behandlung von Differentialgleichungen, da sie es leicht ermöglichen, die Genauigkeit der berechneten Ergebnisse zu beurteilen. Selbst der Lauf eines einzigen Planeten um die schwere Sonne ist nützlich als Testproblem, da Umlaufbahnen mit sich ändernder Exzentrizität wechselnde Anforderungen an die numerische Software stellen. Die Umlaufbahnen, die hier betrachtet werden, gründen sich auf genau diesem einfachen Problem, jedoch mit dem wesentlichen Unterschied, daß der Abstand zwischen Planet und Sonne mit der Norm ‖ . ‖_∞ anstelle der üblichen Euclid'schen Norm ‖ . ‖₂ gemessen wird. Insbesondere untersuchen wir Umlaufbahnen basierend auf jedem der Differentialgleichungssysteme

$$X = \nabla \left( {\frac{1}{{\left\| X \right\|}}} \right)$$

und

$$X = - \frac{1}{{\left\| X \right\|^3 }}.$$

Ein Merkmal beider dieser Systeme, wenn die Norm ‖ . ‖_∞ verwendet wird, ist das Auftreten von Unstetigkeiten in höheren Ableitungen der Lösung. Hierin begründet sich ihr potentieller Wert als schwierige Testprobleme. Im Hinblick auf diese Anwendung werden einige periodische Lösungen aufgezeigt. Es wird gezeigt, daß das zweite der beiden in diesem Papier betrachteten Differentialgleichungssysteme, bei beliebiger Wahl der Norm, periodische Umlaufbahnen besitzt.