On the upper limits of some measures of variability

Absrract

For a seriesP _i ofn≧2 non negative terms the maximum value of therelative variability,$V_r = \frac{{\Sigma |P_i - \bar P|}}{{\Sigma P_i }}$, is$2\left( {1 - \frac{1}{n}} \right)$, the upper limit being 2.Schumann andMostert stated this theorem, showing that it holds for a series ofn-1 zeros and one other term of any value whatsoever. For such a series the maximum value of thecoefficient of variation,$V_c = \frac{{\sqrt {n\Sigma (P_i - \bar P)^2 } }}{{\Sigma P_i }}$, is$\sqrt {n - 1}$, the upper limit being ∞.Longley stated this theorem; its proof is given in this paper. The authorsstate and prove a theorem on the maximum value of another measure of variability, namely theintersequential variability: for a seriesP _i ofn≧3 terms the maximum value of the intersequential variability,$V_s = \frac{n}{{n = 1}} \frac{{\Sigma |P_i - P_{i + 1} |}}{{\Sigma P_i }}$, is$\frac{{2n}}{{n - 1}}$ when there is at least one positive term in the series, provided before and after each positive term there is at least one zero; the highest maximum of this measure, 3, may be attained whenn=3.

Zusammenfassung

Für eine ReiheP _i vonn≧2 nicht-negativen Gliedern beträgt die relative Schwankung$V_r = \frac{{\Sigma |P_i - \bar P|}}{{\Sigma P_i }}$ maximal$2\left( {1 - \frac{1}{n}} \right)$, wobei die obere Grenze dieses Ausdrucks 2 ist.Schumann undMostert haben dieses Theorem aufgestellt und gezeigt, daß es auch für eine Reihe gilt, in dern-1 Glieder Null sind und eines einen beliebigen Wert besitzt.

Das Maximum des Schwankungs-Koeffizienten$V_c = \frac{{\sqrt {n\Sigma (P_i - \bar P)^2 } }}{{\Sigma P_i }}$ einer solchen Reihe beträgt$\sqrt {n - 1}$, dessen obere Grenze ∞ ist. Dieses Theorem wurde vonLongley gegeben; sein Beweis wird in der vorliegenden Arbeit erbracht. Ein weiteres Theorem über den Maximalwert eines anderen Schwankungsmaßes, nämlich der Veränderlichkeit der absoluten Differenzen aufeinanderfolgender Glieder der Reihen, wird aufgestellt und bewiesen. Für eine ReiheP _i vonn≧3 Gliedern ist das Maximum dieses Veränderlichkeitsmaßes

$$V_s = \frac{n}{{n = 1}} \frac{{\Sigma |P_i - P_{i + 1} |}}{{\Sigma P_i }} gleich \frac{{2n}}{{n - 1}}$$

wenn die Reihe mindestens ein positives Glied enthält und jedem positiven Glied mindestens eines mit dem Wert Null vorausgeht und folgt. Das höchste Maximum dieser Maßgröße, nämlich 3, wird erreicht, wennn=3.

Résumé

Pour une suiteP _i den≧2 termes, non-négatifs, le maximum de la variabilité relative$V_r = \frac{{\Sigma |P_i - \bar P|}}{{\Sigma P_i }}$ est$2\left( {1 - \frac{1}{n}} \right)$, une expression de laquelle la limite supérieure est 2.Schumann etMostert ont établi ce théorème et montré qu'il est aussi valable pour une suite dans laquellen-1 termes sont nuls et un terme a une valeur quelconque.

Le maximum du coefficient de variation$V_c = \frac{{\sqrt {n\Sigma (P_i - \bar P)^2 } }}{{\Sigma P_i }}$ d'une telle suite est$\sqrt {n - 1}$, la limite supérieure étant ∞. Ce théorème a été donné parLongley; sa démonstration se trouve dans cette étude. On établit et démontre un autre théorème sur la valeur maximum d'une autre grandeur, la variabilité des différences absolues des termes consécutifs des suites. Pour une suiteP _i den≧3 termes le maximum de cette variabilité$V_s = \frac{n}{{n = 1}} \frac{{\Sigma |P_i - P_{i + 1} |}}{{\Sigma P_i }} vaut \frac{{2n}}{{n - 1}}$ si la suite contient au moins un terme positif précédé et suivi au moins d'un terme nul. Le plus grand maximum de cette grandeur, c'est à dire 3, est atteint sin=3.