Computing

, Volume 34, Issue 2, pp 117–129 | Cite as

An intervalal gorithm for solving systems of linear equations to prespecified accuracy

  • J. W. Demmel
  • F. Krückeberg
Article

Abstract

We describe an interval arithmetic algorithm for solving a special class of simultaneous linear equations. This class includes but is not limited to systemsAx=b whereA andb have integer entries. The algorithm uses fixed point arithmetic, and has two properties which distinguish it from earlier algorithms: given the absolute accuracy ε desired, the algorithm uses only as much precision as needed to achieve it, and the algorithm can adjust its own parameters to minimize computation time.

AMS Subject Classifications

65 G 10 (primary) 65 F 05 (secondary) 

Key words

Systems of linear equations interval arithmetic fixed point arithmetic 

Ein Intervallalgorithmus für die Lösung von linearen Gleichungssystement mit vorausgewählter Genauigkeit

Zusammenfassung

Wir beschreiben einen Intervallalgorithmus, der eine gewisse Klasse von linearen Gleichungssystemen löst. Diese Klasse enthält u. a. SystemeAx=b, bei denenA undb ganzzahlige Komponenten haben. Dieser Algorithmus verwendet Festpunktarithmetik und unterscheidet sich von früheren Algorithmen wie folgt. Erstens: Bei Vorgabe der gewünschten absoluten Genauigkeit ε des Ergebnisses benötigt der Algorithmus nur so viel Zwischengenauigkeit wie notwendig, um die Fehlerschranke ε zu erreichen. Zweitens kann der Algorithmus selbststeuernd seine eigenen Parameter dynamisch ändern, um die Rechenzeit zu minimieren.

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References

  1. [1]
    Genrich, H. J., Lautenbach, K., Thiagarajan, P. S.: Elements of general net theory. In: Net Theory and Applications (Lecture Notes in Computer Science, Vol. 84), pp. 121–164: Berlin-Heidelberg New York: Springer 1980.Google Scholar
  2. [2]
    Memmi, G., Roucairol, G.: Linear algebra in net theory. In: Net Theory and Applications (Lecture Notes in Computer Science, Vol. 84), pp. 213–224. Berlin-Heidelberg-New York: Springer 1980.Google Scholar
  3. [3]
    Wilkinson, J. H., Reinsch, C.: Linear algebra (Handbook for Automatic Computation, Vol. 2), pp. 41–44. Berlin-Heidelberg-New York: Springer 1971.Google Scholar
  4. [4]
    Rump, S. M.: Private communication, 1982.Google Scholar
  5. [5]
    Wongwises, P.: Experimentelle Untersuchungen zur Numerischen Auflösung von linearen Gleichungssystemen mit Fehlererfassung. In: Interval Mathematics (Lecture Notes in Computer Science, Vol. 29) (Nickel, K., ed.), pp. 316–325. Berlin-Heidelberg-New York: Springer 1975.Google Scholar
  6. [6]
    Krier, N., Spelluci, P.: Untersuchungen der Grenzgenauigkeit von Algorithmen zur Auflösung linearer Gleichungssysteme mit Fehlererfassung. In: Interval Mathematics (Lecture Notes in Computer Science, Vol. 29), (Nickel, K., ed.), pp. 288–297. Berlin-Heidelberg-New York: Springer 1975.Google Scholar
  7. [7]
    Krawczyk, R.: Newton-Algorithmen zur Bestimmung von Nullstellen mit Fehlerschranken. Computing4, 187–201 (1969).Google Scholar
  8. [8]
    Wilkinson, J. H.: Rounding Errors in Algebraic Processes. Englewood Cliffs, N. J.: Prentice-Hall 1963.Google Scholar
  9. [9]
    Rump, S. M.: Kleine Fehlerschranken bei Matrixproblemen. Dissertation, Universität Karlsruhe, 1980.Google Scholar
  10. [10]
    Bareiss, E. H.: Sylvester's identity and multistep integer-preserving Gaussian elimination. Math. Comp.22, 565–578 (1968).Google Scholar
  11. [11]
    Howell, J. A., Gregory, R. T.: An algorithm for solving linear algebraic equations using residue arithmetic. BIT9, 200–234, 324–337 (1969).Google Scholar
  12. [12]
    Moore, R. E.: Methods and applications of interval analysis. Philadelphia: SIAM 1979.Google Scholar
  13. [13]
    Dunford, N., Schwartz, J. T.: Linear Operators, Part I, p. 453. New York: Interscience, 1957.Google Scholar
  14. [14]
    Apostol, T.: Mathematical Analysis, 2nd ed., p. 92. Reading, Mass: Addison-Wesley 1974.Google Scholar
  15. [15]
    Aho, A. V., Hopcroft, J. E., Ullman, J. D.: The Design and Analysis of Computer Algorithms, pp. 270–274. Reading, Mass.: Addison-Wesley 1974.Google Scholar
  16. [16]
    NAG Reference Manual, Oxford, Numerical Algorithms Group, Ltd., 1976.Google Scholar

Copyright information

© Springer-Verlag 1985

Authors and Affiliations

  • J. W. Demmel
    • 1
  • F. Krückeberg
    • 2
  1. 1.Department of Computer Science Courant InstituteNew York UniversityNew YorkU.S.A.
  2. 2.Gesellschaft für Mathematik und DatenverarbeitungSchloss BirlinghovenSt. AugustinFederal Republic of Germany

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