On the positivity of quadrature formulas with Jacobi abscissas

Abstract

This note is dedicated to the study ofS _m , the set of (α,β) for which the interpolatory quadrature formula based on the zeroes ofP ^(α,β)(t) _m has positive weights. In contract to the results published by Lether, Wilhelmsen and Frazier [5], we show thatS _m behaves very regularly. The point is that the casesm odd andm even must be distinguished. Furthermore, informations on the exact number of negative weights for values outside ofS _m are obtained.

Zusammenfassung

Wir definieren mitS _m die Menge der Werte (α, β), für welche die Interpolationsquadraturformel basierend auf den Nullstellen vonP ^{(α, β)} _m (t) positive Gewichte besitzt. Im Gegensatz zu den Resultaten von Lether, Wilhelmsen und Frazier [5] zeigen wir, daßS _m sich sehr regelmäßig verhält. Zu diesem Zweck ist es notwendig, die Fällem gerade undm ungerade zu unterscheiden. Weiters erhalten wir Informationen über die exakte Anzahl der negativen Gewichte außerhalb vonS _m .