Additive weights under the Balanced Probability Model

Abstract

We compute the average behaviour of additive weights over the family ℱ _t (n) of unlabelled rooted planart-ary trees withn nodes under the so-calledBalanced Probability Model, introduced by R. Casas, J. Díaz and C. Martínez. The generating function related to a particular additive weight with polynomial weight functions always satisfies an ordinary inhomogeneous differential equation, which can be solved explicitly by thevariation of constant — method. These coefficients are estimated using singularity analysis. The so-calledoccupancy, a parameter which is analyzed in the paper of Casaset al., turns out to be additive, hence, the methods presented here are applicable to it.

Zusammenfassung

Wir berechnen das mittlere Verhalten additiver Gewichte bei der Familie ℱ _t (n) unmarkierter geordnetert-ärer Bäume mitn Knoten unter Annahme des sogenanntenBalanced Probability Model, welches von R. Casas, J. Díaz and C. Martínez eingeführt wurde. Die Koeffizienten der zu einem additiven Gewicht mit polynomieller Gewichtsfunktion in Beziehung stehenden Erzeugendenfunktion genügen immer einer gewöhnlichen inhomogenen Differentialgleichung, welche mit Hilfe der Variation der Konstanten explizit gelöst werden kann. Diese Koeffizienten werden mit Hilfe der Singularitätenanalyse abgeschätzt. Es stellt sich heraus, daß die sogenannteOccupancy, ein Parameter, welcher in der Arbeìt von Casas, Díaz and C. Martínez untersucht wurde, additiv ist, was bedeutet, daß die hier vorgestellten Methoden auf diesen Parameter anwendbar sind.